Calcule o limite se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+9 x-5}{x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+9x-5}{x^{2}-25}.
Informações dadas e relevantes:
  • O numerador é o polinômio 2x^{2}+9x-5.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-25.
  • A variável tende a infinito: x\to\infty.
  • Os graus (as potências máximas) de numerador e denominador são ambos 2.
  • Os coeficientes dos termos de maior grau são 2 (numerador) e 1 (denominador).

Passo 2

Ideia do método (de forma prática e segura): quando x fica muito grande, os termos com menor potência ficam pequenos em comparação com os de maior potência. Para formalizar isso, eu vou dividir numerador e denominador por x^{2} (a maior potência que aparece). Isso é uma técnica padrão e fácil de aplicar na prova, porque transforma cada termo em algo que tende a 0 quando x\to\infty.
Execute a divisão por x^{2}:
\frac{2x^{2}+9x-5}{x^{2}-25} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{9x}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{25}{x^{2}}} = \frac{2+\dfrac{9}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1-\dfrac{25}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora vamos analisar o comportamento de cada termo quando x\to\infty.
Fatos usados (fáceis de lembrar e muito úteis na prova):
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0. Intuição: conforme x cresce, o denominador cresce e a fração fica cada vez menor.
  • Mais geral, para qualquer k>0,
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Aplicando isso aos termos da expressão:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{9}{x}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{2}}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{25}{x^{2}}=0.

Passo 4

Aplicando os limites termo a termo na fração obtida no Passo 2 (e usando a regra que diz que se o numerador tende a A e o denominador tende a B\neq0, então a razão tende a A/B), temos:
  • O numerador tende a 2+0-0=2.
  • O denominador tende a 1-0=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{9}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1-\dfrac{25}{x^{2}}} = \frac{2}{1}=2.

Passo 5

Interpretação rápida e dica prática para a prova: quando temos uma função racional (quociente de polinômios) e os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando x\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes são 2 e 1, logo o limite é 2/1=2.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite costuma ser \pm\infty (o sinal depende dos coeficientes).
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é 0.

Resposta

2

Exercícios relacionados