Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e relevantes:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável tende a infinito:
. - Os graus (as potências máximas) de numerador e denominador são ambos
. - Os coeficientes dos termos de maior grau são
(numerador) e (denominador).
Passo 2
Ideia do método (de forma prática e segura): quando
fica muito grande, os termos com menor potência ficam pequenos em comparação com os de maior potência. Para formalizar isso, eu vou dividir numerador e denominador por
(a maior potência que aparece). Isso é uma técnica padrão e fácil de aplicar na prova, porque transforma cada termo em algo que tende a
quando
.
Execute a divisão por
:
Passo 3
Agora vamos analisar o comportamento de cada termo quando
.
Fatos usados (fáceis de lembrar e muito úteis na prova):
-
. Intuição: conforme cresce, o denominador cresce e a fração fica cada vez menor. - Mais geral, para qualquer
,
Aplicando isso aos termos da expressão:
-
. -
. -
.
Passo 4
Aplicando os limites termo a termo na fração obtida no Passo 2 (e usando a regra que diz que se o numerador tende a
e o denominador tende a
, então a razão tende a
), temos:
- O numerador tende a
. - O denominador tende a
.
Portanto
Passo 5
Interpretação rápida e dica prática para a prova: quando temos uma função racional (quociente de polinômios) e os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes são
e
, logo o limite é
.
Exemplos rápidos para fixar:
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite costuma ser
(o sinal depende dos coeficientes). - Se o grau do numerador for menor, o limite é
.