Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional: numerador
e denominador . - A variável
aproxima-se de .
A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar a substituição direta
para ver se obtemos um valor imediato.
Portanto, ao fazer
por substituição direta obtemos a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição; precisamos manipular a expressão.
Passo 3
Explicação didática sobre a estratégia: quando aparece
numa função racional, a técnica mais simples (e a que é ensinada primeiro) é fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns. Isso porque muitos
vêm de fatores lineares iguais em cima e embaixo que se cancelam, transformando a expressão numa função equivalente para
ponto problemático, cujo limite pode ser avaliado por substituição direta.
Como fatorar quadráticos básicos: para uma expressão
, procura-se dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
; então a fatoração é
com
e
.
Aplicando ao nosso numerador e denominador:
- Para o numerador
: precisamos de dois números com soma e produto . Esses números são e . Logo
- Para o denominador
: precisamos de dois números com soma e produto . Esses números são e . Logo
Passo 4
Substituindo as fatorações na expressão original e simplificando o fator comum
(lembrando que só podemos cancelar quando
, o que é suficiente para estudar o limite):
Explicação: a função original e a função simplificada
coincidem para todo
diferente de
. O limite quando
depende apenas do comportamento para
próximos de
(mas não igual a
), assim podemos calcular o limite usando a função simplificada.
Passo 5
Agora calcular o limite da forma simplificada por substituição direta (já que o denominador em
não é zero):
Breve justificativa: após remover a indeterminação por cancelamento, a expressão restante é contínua em
, então o limite é apenas o valor da expressão ao substituir
.
Passo 6
Interpretação final e observação didática: a forma original dava
em
, mas isso decorre de um fator comum
que gera uma descontinuidade removível. Ao cancelar, obtemos uma função equivalente nas proximidades de
cujo valor tende a
. Outra técnica possível seria aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que daria o mesmo resultado, mas fatorar é mais simples e não requer derivadas.