Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional: numerador x^{2}+x-2 e denominador x^{2}-3x+2.
  • A variável x aproxima-se de 1.
    A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar a substituição direta x=1 para ver se obtemos um valor imediato.
\text{Numerador em } x=1:\;1^{2}+1-2=1+1-2=0.
\text{Denominador em } x=1:\;1^{2}-3\cdot1+2=1-3+2=0.
Portanto, ao fazer x\to1 por substituição direta obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição; precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Explicação didática sobre a estratégia: quando aparece \dfrac{0}{0} numa função racional, a técnica mais simples (e a que é ensinada primeiro) é fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns. Isso porque muitos \dfrac{0}{0} vêm de fatores lineares iguais em cima e embaixo que se cancelam, transformando a expressão numa função equivalente para x\neq ponto problemático, cujo limite pode ser avaliado por substituição direta.
Como fatorar quadráticos básicos: para uma expressão \,x^{2}+bx+c, procura-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c; então a fatoração é (x+\alpha)(x+\beta) com \alpha+\beta=b e \alpha\beta=c.
Aplicando ao nosso numerador e denominador:
  • Para o numerador \,x^{2}+x-2: precisamos de dois números com soma 1 e produto -2. Esses números são 2 e -1. Logo
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
  • Para o denominador \,x^{2}-3x+2: precisamos de dois números com soma -3 e produto 2. Esses números são -1 e -2. Logo
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original e simplificando o fator comum (x-1) (lembrando que só podemos cancelar quando x\neq1, o que é suficiente para estudar o limite):
\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+2}{x-2},\qquad \text{para } x\neq1.
Explicação: a função original e a função simplificada \dfrac{x+2}{x-2} coincidem para todo x diferente de 1. O limite quando x\to1 depende apenas do comportamento para x próximos de 1 (mas não igual a 1), assim podemos calcular o limite usando a função simplificada.

Passo 5

Agora calcular o limite da forma simplificada por substituição direta (já que o denominador em x=1 não é zero):
\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x-2}=\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3.
Breve justificativa: após remover a indeterminação por cancelamento, a expressão restante é contínua em x=1, então o limite é apenas o valor da expressão ao substituir x=1.

Passo 6

Interpretação final e observação didática: a forma original dava \dfrac{0}{0} em x=1, mas isso decorre de um fator comum (x-1) que gera uma descontinuidade removível. Ao cancelar, obtemos uma função equivalente nas proximidades de 1 cujo valor tende a -3. Outra técnica possível seria aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que daria o mesmo resultado, mas fatorar é mais simples e não requer derivadas.

Resposta

-3

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