Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão a ser estudada é
. - O ponto onde
se aproxima é . - Note que
quando (o denominador anula-se nesse ponto). - É possível avaliar o numerador em
: . Portanto o numerador tende para quando .
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida): quando uma função é uma razão e o denominador tende a
enquanto o numerador tende a um número não nulo, o quociente tende a infinito em módulo. Mas é importante analisar os dois limites laterais: a aproximação pela esquerda (
) e pela direita (
), porque podem dar sinais opostos e então o limite bilateral não existe.
Passo 3
Formalização da análise lateral usando uma mudança de variável simples (isso é útil na prova porque deixa claro o sinal do denominador). Faça
, onde
. Então
e
Vamos simplificar o numerador para ver o seu comportamento quando
.
Passo 4
Expandindo o numerador:
Agora somando os termos:
Logo
Quando
, o numerador tende para
e permanece próximo de
(positivo).
Passo 5
Agora escrevemos a função em termos de
:
Separe em parcelas:
Quando
o termo
tende para
(finito), mas o termo
domina o comportamento porque diverge em módulo.
Passo 6
Análise dos dois lados:
- Se
, então e . Assim
- Se
, então e . Assim
Passo 7
Conclusão didática: os limites laterais existem, mas são diferentes (um é
e o outro é
). Para que o limite bilateral
exista (finito ou infinito), é necessário que os dois limites laterais coincidam. Como não coincidem, o limite bilateral NÃO existe.
Resposta
Não existe