Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-x+12}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^{2}-x+12}{x+3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{x^{2}-x+12}{x+3}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=-3.
  • Note que x+3=0 quando x=-3 (o denominador anula-se nesse ponto).
  • É possível avaliar o numerador em x=-3: (-3)^{2}-(-3)+12=9+3+12=24. Portanto o numerador tende para \,24 quando x\to-3.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): quando uma função é uma razão e o denominador tende a 0 enquanto o numerador tende a um número não nulo, o quociente tende a infinito em módulo. Mas é importante analisar os dois limites laterais: a aproximação pela esquerda ( x\to-3^{-}) e pela direita ( x\to-3^{+}), porque podem dar sinais opostos e então o limite bilateral não existe.

Passo 3

Formalização da análise lateral usando uma mudança de variável simples (isso é útil na prova porque deixa claro o sinal do denominador). Faça x=-3+h, onde h\to 0. Então
x+3 = h
e
x^{2}-x+12 = (-3+h)^{2}-(-3+h)+12.
Vamos simplificar o numerador para ver o seu comportamento quando h\to 0.

Passo 4

Expandindo o numerador:
(-3+h)^{2}-(-3+h)+12 = (9 -6h + h^{2}) +3 - h +12.
Agora somando os termos:
9+3+12 = 24, \qquad -6h - h = -7h, \qquad + h^{2}.
Logo
x^{2}-x+12 = 24 -7h + h^{2}.
Quando h\to 0, o numerador tende para 24 e permanece próximo de 24 (positivo).

Passo 5

Agora escrevemos a função em termos de h:
\frac{x^{2}-x+12}{x+3} = \frac{24 -7h + h^{2}}{h}.
Separe em parcelas:
\frac{24 -7h + h^{2}}{h} = \frac{24}{h} -7 + h.
Quando h\to 0 o termo -7+h tende para -7 (finito), mas o termo \dfrac{24}{h} domina o comportamento porque diverge em módulo.

Passo 6

Análise dos dois lados:
  • Se x\to -3^{+}, então h\to 0^{+} e \dfrac{24}{h}\to +\infty. Assim
\lim_{x\to -3^{+}}\frac{x^{2}-x+12}{x+3}=+\infty.
  • Se x\to -3^{-}, então h\to 0^{-} e \dfrac{24}{h}\to -\infty. Assim
\lim_{x\to -3^{-}}\frac{x^{2}-x+12}{x+3}=-\infty.

Passo 7

Conclusão didática: os limites laterais existem, mas são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty). Para que o limite bilateral \lim_{x\to -3} exista (finito ou infinito), é necessário que os dois limites laterais coincidam. Como não coincidem, o limite bilateral NÃO existe.

Resposta

Não existe

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