Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x+2}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x se aproxima de -2:
\lim_{x\to-2}\frac{x+2}{x^{2}-x-6}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x+2}{x^{2}-x-6}.
  • O ponto onde se aproxima é x=-2.
  • A tarefa é determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Conceito rápido e intuitivo de limite (sem formalismo ε–δ): o limite \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, à medida que x se aproxima de a (por valores diferentes de a), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Se a substituição direta em a der uma forma bem definida (por exemplo um número real) e a função for “bem comportada” ali, o limite costuma ser esse número. Mas se a substituição direta der uma forma indeterminada (como 0/0), precisamos manipular a expressão antes de concluir.

Passo 3

Tentar substituição direta para ver se é possível:
\text{numerador: }(-2)+2=0, \qquad \text{denominador: }(-2)^{2}-(-2)-6=4+2-6=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso indica que é preciso fazer álgebra para simplificar a expressão antes de concluir o valor do limite.

Passo 4

Fatorar o polinômio do denominador para tentar simplificar. Procuramos fatores de -6 cuja soma seja -1. Esses fatores são -3 e 2, então:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Verificação rápida: (x-3)(x+2)=x^{2}+2x-3x-6=x^{2}-x-6.

Passo 5

Reescrever a função usando a fatoração:
\frac{x+2}{x^{2}-x-6}=\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}.
Para x\neq -2 é possível cancelar o fator comum x+2, obtendo a expressão equivalente
\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x-3}\quad\text{(para \(x\neq -2\))}.
Observação importante: a igualdade após cancelamento vale para todos os x exceto x=-2, porque no ponto x=-2 o original está indefinido. Porém, para cálculo de limite isso é suficiente: o limite depende do comportamento quando x se aproxima de -2, não do valor no ponto.

Passo 6

Agora calcular o limite usando a forma simplificada. A função \dfrac{1}{x-3} é contínua em x=-2 (denominador não é zero lá), então o limite quando x\to-2 é simplesmente o valor da função em -2:
\lim_{x\to-2}\frac{1}{x-3}=\frac{1}{-2-3}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: a forma indeterminada 0/0 costuma indicar fator comum que pode ser cancelado. Após o cancelamento a nova expressão, se for contínua no ponto, permite avaliação direta do limite. Exemplo parecido: \lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.

Resposta

-\dfrac{1}{5}

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