Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto onde se aproxima é
. - A tarefa é determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Conceito rápido e intuitivo de limite (sem formalismo ε–δ): o limite
significa que, à medida que
se aproxima de
(por valores diferentes de
), os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Se a substituição direta em
der uma forma bem definida (por exemplo um número real) e a função for “bem comportada” ali, o limite costuma ser esse número. Mas se a substituição direta der uma forma indeterminada (como
), precisamos manipular a expressão antes de concluir.
Passo 3
Tentar substituição direta para ver se é possível:
Portanto a substituição direta dá a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso indica que é preciso fazer álgebra para simplificar a expressão antes de concluir o valor do limite.
Passo 4
Fatorar o polinômio do denominador para tentar simplificar. Procuramos fatores de
cuja soma seja
. Esses fatores são
e
, então:
Verificação rápida:
.
Passo 5
Reescrever a função usando a fatoração:
Para
é possível cancelar o fator comum
, obtendo a expressão equivalente
Observação importante: a igualdade após cancelamento vale para todos os
exceto
, porque no ponto
o original está indefinido. Porém, para cálculo de limite isso é suficiente: o limite depende do comportamento quando
se aproxima de
, não do valor no ponto.
Passo 6
Agora calcular o limite usando a forma simplificada. A função
é contínua em
(denominador não é zero lá), então o limite quando
é simplesmente o valor da função em
:
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova: a forma indeterminada
costuma indicar fator comum que pode ser cancelado. Após o cancelamento a nova expressão, se for contínua no ponto, permite avaliação direta do limite. Exemplo parecido:
.