Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x-6}{x+2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-6}{x+2}.
Informações dadas: a expressão é uma razão de polinômios com numerador x^{2}-x-6 e denominador x+2. A questão é apenas encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Noções úteis (explicadas de forma simples).
  • Limite por substituição direta: se uma função é contínua em x=a, então \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Polinômios são contínuos em todo lugar; quocientes de polinômios (funções racionais) são contínuos em pontos onde o denominador não é zero. Isso significa que, se o denominador não se anula em x=2, podemos simplesmente substituir x=2 na expressão e obter o limite.
  • Alternativa prática: às vezes é útil fatorar o numerador e simplificar a fração; isso ajuda quando há cancelamento que poderia provocar indeterminação em outro ponto. Vou mostrar os dois caminhos (substituição direta e fatoração) para você entender bem.

Passo 3

Verificar se o denominador se anula em x=2. Calculo:
2+2=4.
Como 4\neq 0, o denominador NÃO zera em x=2. Portanto a função racional é contínua em x=2 e podemos aplicar a substituição direta.

Passo 4

Avaliar o numerador em x=2. Calculo passo a passo:
2^{2}-2-6=4-2-6.
Primeiro 4-2=2, depois 2-6=-4. Logo o numerador vale -4 quando x=2.

Passo 5

Fazer a divisão usando os valores obtidos: numerador -4 e denominador 4.
\frac{-4}{4}=-1.
Portanto, pela substituição direta, o limite é -1.

Passo 6

Método alternativo (fatoração) — útil para praticar e ver outra maneira: fatoramos o numerador procurando dois números que multiplicam -6 e somam -1. Esses números são -3 e 2. Assim
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
A expressão original fica
\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}.
Para x\neq -2 pode-se cancelar (x+2), obtendo a função simplificada x-3. Como estamos estudando o limite quando x\to 2 (e 2\neq -2), podemos avaliar a forma simplificada em x=2:
2-3=-1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-1

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