Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{-2 x} \cos x\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to\infty}\left(e^{-2x}\cos x\right).
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
\text{a função a estudar é }f(x)=e^{-2x}\cos x;çãé
não há outras condições no enunciado além do comportamento de x quando x\to\infty.

Passo 2

Primeiro fato útil e simples: a função cosseno é limitada. Ou seja,
-1 \le \cos x \le 1\quad\text{para todo }x.
Isso é básico: o cosseno oscila entre -1 e 1. Não precisamos saber x específico, apenas essa propriedade global.

Passo 3

Como e^{-2x}>0 para todo x, podemos multiplicar a desigualdade do passo anterior por e^{-2x} sem inverter sinais. Assim obtemos
-e^{-2x} \le e^{-2x}\cos x \le e^{-2x}.
Essa desigualdade mostra que e^{-2x}\cos x está “presa” entre -e^{-2x} e e^{-2x}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento das funções \pm e^{-2x} quando x\to\infty. Note que
e^{-2x}=\frac{1}{e^{2x}}.
Como e^{2x}\to\infty quando x\to\infty (exponencial cresce sem limite), segue que
\lim_{x\to\infty}e^{-2x}=0.
Logo também
\lim_{x\to\infty}\big(-e^{-2x}\big)=0.
Em palavras: as duas funções que formam os limites inferior e superior da desigualdade do passo 3 tendem a 0.

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze): se uma função fica entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como
-e^{-2x} \le e^{-2x}\cos x \le e^{-2x}
e ambos os extremos tendem a 0 quando x\to\infty, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\left(e^{-2x}\cos x\right)=0.
Intuição rápida: o fator e^{-2x} decai muito rápido para zero e “anula” as oscilações do \cos x.

Resposta

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