Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
não há outras condições no enunciado além do comportamento de
quando
.
Passo 2
Primeiro fato útil e simples: a função cosseno é limitada. Ou seja,
Isso é básico: o cosseno oscila entre
e
. Não precisamos saber
específico, apenas essa propriedade global.
Passo 3
Como
para todo
, podemos multiplicar a desigualdade do passo anterior por
sem inverter sinais. Assim obtemos
Essa desigualdade mostra que
está “presa” entre
e
.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento das funções
quando
. Note que
Como
quando
(exponencial cresce sem limite), segue que
Logo também
Em palavras: as duas funções que formam os limites inferior e superior da desigualdade do passo 3 tendem a
.
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze): se uma função fica entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como
e ambos os extremos tendem a
quando
, concluímos que
Intuição rápida: o fator
decai muito rápido para zero e “anula” as oscilações do
.