Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{x+2}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to -3^{+}} \frac{x+2}{x+3}.
Informações dadas: a expressão é a fração \dfrac{x+2}{x+3} e a aproximação é por x tendendo a -3 pela direita (isto é, valores de x que são ligeiramente maiores que -3). Não há outros dados.

Passo 2

Vamos observar o comportamento do numerador e do denominador separadamente ao nos aproximarmos de x=-3.
Calculemos os limites simples:
\lim_{x\to -3} (x+2) = -1,
porque substituindo x=-3 obtemos -3+2=-1.
Por outro lado,
\lim_{x\to -3} (x+3) = 0.
Mas como estamos aproximando por x\to -3^{+} (pela direita), os valores de x são ligeiramente maiores que -3, então x+3 é um número pequeno e positivo. Em notação, x+3\to 0^{+}.

Passo 3

Quando o numerador tende para uma constante não nula (aqui -1) e o denominador tende para 0, a razão tende em módulo para infinito. O sinal do infinito depende dos sinais do numerador e do denominador próximos de -3.
Aqui, perto de -3 o numerador (x+2) está próximo de -1 (ou seja, negativo) e o denominador (x+3) é positivo e muito pequeno (porque aproximamos pela direita). Logo a razão é negativa com módulo muito grande — isto é, tende para -\infty.

Passo 4

Para ver isso de forma algébrica clara, faça a substituição h=x+3. Então h\to 0^{+} quando x\to -3^{+}. Reescrevendo a fração em h:
\frac{x+2}{x+3} = \frac{(x+3)-1}{x+3} = \frac{h-1}{h} = 1 - \frac{1}{h}.
Quando h\to 0^{+}, temos \dfrac{1}{h}\to +\infty, portanto
1-\frac{1}{h}\to -\infty.
Isso confirma rigorosamente que a expressão tende para menos infinito.

Resposta

-\infty

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