Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas: a expressão é a fração
e a aproximação é por
tendendo a
pela direita (isto é, valores de
que são ligeiramente maiores que
). Não há outros dados.
Passo 2
Vamos observar o comportamento do numerador e do denominador separadamente ao nos aproximarmos de
.
Calculemos os limites simples:
porque substituindo
obtemos
.
Por outro lado,
Mas como estamos aproximando por
(pela direita), os valores de
são ligeiramente maiores que
, então
é um número pequeno e positivo. Em notação,
.
Passo 3
Quando o numerador tende para uma constante não nula (aqui
) e o denominador tende para
, a razão tende em módulo para infinito. O sinal do infinito depende dos sinais do numerador e do denominador próximos de
.
Aqui, perto de
o numerador
está próximo de
(ou seja, negativo) e o denominador
é positivo e muito pequeno (porque aproximamos pela direita). Logo a razão é negativa com módulo muito grande — isto é, tende para
.
Passo 4
Para ver isso de forma algébrica clara, faça a substituição
. Então
quando
. Reescrevendo a fração em
:
Quando
, temos
, portanto
Isso confirma rigorosamente que a expressão tende para menos infinito.