Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método direto de eliminação de Gauss (com pivoteamento e triangularização da matriz dos coeficientes). Use a técnica de pivoteamento parcial se necessário (se o pivô for zero).
\left\{\begin{aligned} 3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3}= & 9 \\\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}= & 3 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{3}= & -2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que o resolvamos pelo método direto de eliminação de Gauss (triangularização da matriz dos coeficientes, usando pivoteamento parcial se necessário):
\begin{cases} 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=3,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{3}=-2. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\text{incógnitas: }x_{1},x_{2},x_{3}.ó
\text{Sistema escrito na forma aumentada (coeficientes e termos independentes) será usado para aplicar as operações elementares de linha.}áçõ]

Passo 2

Breve explicação do método (pra você entender na prova):
  • A ideia da eliminação de Gauss é transformar a matriz aumentada do sistema em uma matriz triangular superior por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra). Depois, faz-se substituição regressiva (back-substitution) para obter as incógnitas.
  • Pivoteamento parcial: em cada coluna onde buscamos o pivô, escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas ainda não eliminadas nessa coluna. Se esse maior estiver numa linha abaixo da atual, trocamos linhas. Isso evita divisão por zero e melhora estabilidade numérica.
  • Vou aplicar pivoteamento parcial sempre que for conveniente (ou necessário).

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema. Ordenando as equações na mesma ordem, a matriz aumentada [A|b] é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -4 & 1 & 9\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 3\\[4pt] 4 & 0 & -3 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Escolha do primeiro pivô (coluna 1). Olhamos os elementos da coluna 1 nas linhas 1 a 3: \;3,\;1,\;4\;. O maior em valor absoluto é \;4\; (na linha 3). Pela regra do pivoteamento parcial, trocamos a linha 1 com a linha 3 para trazer o maior pivô para cima. Depois da troca R_{1}\leftrightarrow R_{3} temos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 0 & -3 & -2\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 3\\[4pt] 3 & -4 & 1 & 9 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna. O pivô atual é a_{11}=4. Calculamos os multiplicadores para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{4},\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{3}{4}.
Aplicamos R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
Faço as contas componente a componente:
Para R_{2}:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }&1-\tfrac{1}{4}\cdot 4 = 0,\\[4pt] \text{coluna 2: }&2-\tfrac{1}{4}\cdot 0 = 2,\\[4pt] \text{coluna 3: }&2-\tfrac{1}{4}\cdot(-3)=2+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4},\\[4pt] \text{termo independente: }&3-\tfrac{1}{4}\cdot(-2)=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}. \end{aligned}
Para R_{3}:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }&3-\tfrac{3}{4}\cdot 4 = 0,\\[4pt] \text{coluna 2: }&-4-\tfrac{3}{4}\cdot 0 = -4,\\[4pt] \text{coluna 3: }&1-\tfrac{3}{4}\cdot(-3)=1+\tfrac{9}{4}=\tfrac{13}{4},\\[4pt] \text{termo independente: }&9-\tfrac{3}{4}\cdot(-2)=9+\tfrac{3}{2}=\tfrac{21}{2}. \end{aligned}
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 0 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 2 & \tfrac{11}{4} & \tfrac{7}{2}\\[4pt] 0 & -4 & \tfrac{13}{4} & \tfrac{21}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora seguimos para a segunda coluna (entre as linhas 2 e 3). Os candidatos a pivô são 2 (em R_{2}) e -4 (em R_{3}). O maior valor absoluto é |-4|=4, que está em R_{3}. Pelo pivoteamento parcial, trocamos R_{2}\leftrightarrow R_{3}. Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 0 & -3 & -2\\[4pt] 0 & -4 & \tfrac{13}{4} & \tfrac{21}{2}\\[4pt] 0 & 2 & \tfrac{11}{4} & \tfrac{7}{2} \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminação abaixo do pivô da segunda coluna. O pivô agora é a_{22}=-4. Calculamos o multiplicador
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{2}{-4}=-\tfrac{1}{2}.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Como m_{32}=-\tfrac{1}{2}, isso é R_{3}\leftarrow R_{3}+ \tfrac{1}{2}R_{2}.
Calculamos os elementos de R_{3}:
\begin{aligned} \text{coluna 2: }&2+\tfrac{1}{2}\cdot(-4)=2-2=0,\\[4pt] \text{coluna 3: }&\tfrac{11}{4}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{13}{4}=\tfrac{11}{4}+\tfrac{13}{8}=\tfrac{22}{8}+\tfrac{13}{8}=\tfrac{35}{8},\\[4pt] \text{termo independente: }&\tfrac{7}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{21}{2}=\tfrac{7}{2}+\tfrac{21}{4}=\tfrac{14}{4}+\tfrac{21}{4}=\tfrac{35}{4}. \end{aligned}
A matriz aumentada triangular superior resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 0 & -3 & -2\\[4pt] 0 & -4 & \tfrac{13}{4} & \tfrac{21}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{35}{8} & \tfrac{35}{4} \end{array}\right].
Observação: agora temos uma matriz triangular superior pronta para a substituição regressiva.]

Passo 8

Substituição regressiva (back-substitution) para obter x_{3},x_{2},x_{1}.
Da terceira linha (linha 3) temos:
\tfrac{35}{8}x_{3}=\tfrac{35}{4}.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{\tfrac{35}{4}}{\tfrac{35}{8}}=\frac{35}{4}\cdot\frac{8}{35}=\frac{8}{4}=2.
Agora usamos a segunda linha (linha 2):
-4x_{2}+\tfrac{13}{4}x_{3}=\tfrac{21}{2}.
Substituindo x_{3}=2:
-4x_{2}+\tfrac{13}{4}\cdot 2=\tfrac{21}{2}.
Calcule \tfrac{13}{4}\cdot 2=\tfrac{13}{2}. Então
-4x_{2}+\tfrac{13}{2}=\tfrac{21}{2}.
Isolando x_{2}:
-4x_{2}=\tfrac{21}{2}-\tfrac{13}{2}=\tfrac{8}{2}=4,
logo
x_{2}=-1.
Por fim, usamos a primeira linha (linha 1):
4x_{1}+0\cdot x_{2}-3x_{3}=-2.
Substituindo x_{3}=2:
4x_{1}-3\cdot 2=-2 \quad\Rightarrow\quad 4x_{1}-6=-2.
Portanto
4x_{1}=4\quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Passo 9

Verificação rápida (plugando na equação original para conferir):
  • Primeira equação: 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=3\cdot 1 -4\cdot(-1)+2=3+4+2=9 OK.
  • Segunda: x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=1+2(-1)+2\cdot 2=1-2+4=3 OK.
  • Terceira: 4x_{1}-3x_{3}=4\cdot 1 -3\cdot 2=4-6=-2 OK.
Tudo confere — solução correta.

Resposta

\;x_{1}=1,\;x_{2}=-1,\;x_{3}=2

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