Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método direto de eliminação de Gauss (com pivoteamento e triangularização da matriz dos coeficientes). Use a técnica de pivoteamento parcial se necessário (se o pivô for zero). \left\{\begin{aligned} 3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3}= & 9 \\\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}= & 3 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{3}= & -2\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que o resolvamos pelo método direto de eliminação de Gauss (triangularização da matriz dos coeficientes, usando pivoteamento parcial se necessário):
\text{Sistema escrito na forma aumentada (coeficientes e termos independentes) será usado para aplicar as operações elementares de linha.}áçõ]
Passo 2
Breve explicação do método (pra você entender na prova):
A ideia da eliminação de Gauss é transformar a matriz aumentada do sistema em uma matriz triangular superior por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra). Depois, faz-se substituição regressiva (back-substitution) para obter as incógnitas.
Pivoteamento parcial: em cada coluna onde buscamos o pivô, escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas ainda não eliminadas nessa coluna. Se esse maior estiver numa linha abaixo da atual, trocamos linhas. Isso evita divisão por zero e melhora estabilidade numérica.
Vou aplicar pivoteamento parcial sempre que for conveniente (ou necessário).
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema. Ordenando as equações na mesma ordem, a matriz aumentada [A|b] é:
Escolha do primeiro pivô (coluna 1). Olhamos os elementos da coluna 1 nas linhas 1 a 3: \;3,\;1,\;4\;. O maior em valor absoluto é \;4\; (na linha 3). Pela regra do pivoteamento parcial, trocamos a linha 1 com a linha 3 para trazer o maior pivô para cima. Depois da troca R_{1}\leftrightarrow R_{3} temos:
Agora seguimos para a segunda coluna (entre as linhas 2 e 3). Os candidatos a pivô são 2 (em R_{2}) e -4 (em R_{3}). O maior valor absoluto é |-4|=4, que está em R_{3}. Pelo pivoteamento parcial, trocamos R_{2}\leftrightarrow R_{3}. Após a troca: