Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a ser analisada é \frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}.
  • O ponto de interesse é x=0, que é precisamente onde a função pode ter comportamento diferente à esquerda e à direita por causa do valor absoluto |x|.
  • Portanto, será necessário verificar os limites laterais \lim_{x\to0^+} e \lim_{x\to0^-}.

Passo 2

Por que verificar os limites laterais? Explanação didática curta: a função |x|\) tem definição diferente para \(x>0\) e para \(x<0\): \[|x| = \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Para que o limite \lim_{x\to0} f(x)\] exista (como número finito), é necessário que os dois limites laterais existam e sejam iguais: \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^-} f(x) = L\quad\text{(mesmo \(L finito).}]
Se os laterais forem diferentes ou algum for infinito, o limite geral não existe.]

Passo 3

Calcule o limite pela direita ( x\to0^+). Para x>0 temos |x|=x. Substituindo na expressão:
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0\qquad\text{(para todo }x>0\text{)}.
Logo, quando x se aproxima de 0 pela direita a expressão é sempre 0.

Passo 4

Conclusão do passo anterior em forma de limite:
\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=0.
Explicação extra: o limite de uma função constante é simplesmente essa constante.

Passo 5

Calcule o limite pela esquerda ( x\to0^-). Para x<0 temos |x|=-x. Substituindo:
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x}\qquad\text{(para }x<0\text{)}.
Mostrei passo a passo: \frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}, daí \frac{1}{x}-(-\frac{1}{x})=2\cdot\frac{1}{x}.

Passo 6

Avalie \lim_{x\to0^-}\frac{2}{x}. Quando x é negativo e se aproxima de 0 (por exemplo x=-0{,}1,\,-0{,}01,\ldots), o número \frac{2}{x} fica muito negativo (ex.: -20,-200,\ldots). Portanto
\lim_{x\to0^-}\frac{2}{x}=-\infty.
Isto significa que pela esquerda a expressão diverge para menos infinito.

Passo 7

Conclusão final: os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^-}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=-\infty.
Como os laterais não coincidem (e um é infinito), o limite geral \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right) não existe.

Resposta

Não existe.
\displaystyle \lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=0
\displaystyle \lim_{x\to0^-}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=-\infty

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