Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \sqrt{5}} \frac{\sqrt{5}-x}{5-x^{{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\sqrt5}\frac{\sqrt5 - x}{5 - x^2}.
O conteúdo aqui é limite de função e tratamento de forma indeterminada.

Passo 2

Se a gente substituir x = \sqrt5 diretamente, o numerador vira \sqrt5 - \sqrt5 = 0
e o denominador vira 5 - (\sqrt5)^2 = 5 - 5 = 0,
logo temos a forma \tfrac{0}{0}, que é indeterminada.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, fatoramos o denominador:
5 - x^2 = (\sqrt5 - x)(\sqrt5 + x).
Assim a expressão original fica
\frac{\sqrt5 - x}{(\sqrt5 - x)(\sqrt5 + x)}.

Passo 4

Como estamos estudando o limite e x\neq\sqrt5 no processo, podemos cancelar o fator comum \sqrt5 - x. A expressão simplificada é
\frac{1}{\sqrt5 + x}.

Passo 5

A nova função \tfrac{1}{\sqrt5 + x} é contínua em x=\sqrt5, então basta substituir:
\lim_{x\to\sqrt5}\frac{1}{\sqrt5 + x} = \frac{1}{\sqrt5 + \sqrt5} = \frac{1}{2\sqrt5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt5}

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