Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{{3}}-1}{x^{{2}}-1}\right)^{{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
\lim_{x\to1}\biggl(\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\biggr)^{2}.
Isso é um problema de limite que resulta numa forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar fatoração para simplificar e depois avaliar o valor.

Passo 2

Observamos que tanto x^{3}-1 quanto x^{2}-1 têm fator x-1. De fato:
x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1),
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Substituindo na fração e cancelando o fator comum (x-1) (válido para x\neq1), obtemos
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1} = \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^{2}+x+1}{x+1}.

Passo 3

Assim a função original fica, para x\neq1,
\biggl(\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\biggr)^{2} = \biggl(\frac{x^{2}+x+1}{x+1}\biggr)^{2}.
Como essa expressão é agora contínua em x=1, podemos simplesmente substituir x=1.

Passo 4

Substituindo x=1 em \frac{x^{2}+x+1}{x+1}
\frac{1^{2}+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}
e, elevando ao quadrado,
\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{2}=\frac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

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