Calcule o limite, se existir.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{t^{{2}}-2}{t^{{3}}-3 t+5}\right)^{{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\rightarrow0}\Bigl(\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5}\Bigr)^{2}.
O conteúdo envolve limites de funções racionais e a propriedade de continuidade de polinômios.

Passo 2

Como t^{2}-2 e t^{3}-3t+5 são polinômios, a função
f(t)=\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5}
é contínua sempre que o denominador for diferente de zero. Em t=0 temos 0^{3}-3\cdot0+5=5\neq0, logo
\lim_{t\to0}f(t)=f(0)=\frac{0^{2}-2}{5}=-\frac{2}{5}.

Passo 3

A etapa final é usar a continuidade da função quadrado para concluir
\lim_{t\to0}\bigl(f(t)\bigr)^{2}=\Bigl(\lim_{t\to0}f(t)\Bigr)^{2}=\Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)^{2}=\frac{4}{25}.

Resposta

\frac{4}{25}

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