Calcule o limite, se existir.
lim x 2 2-xraizx+2-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 2 2 - xraizx + 2 - 2
Isso pertence ao conteúdo de limites de funções, em particular ao caso onde a substituição direta dá forma indeterminada 0/0 e precisaremos usar a técnica de racionalização do denominador.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta para identificar a indeterminação. Quando x = 2 temos:
numerador = 2 - 2 = 0, denominador = raiz2 + 2 - 2 = 2 - 2 = 0
Logo, aparece a forma 0/0, indicando que podemos usar alguma manipulação algébrica.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é raizx+2 + 2:
2 - xraizx + 2 - 2 cdot raizx + 2 + 2raizx + 2 + 2 = (2 - x),(raizx + 2 + 2)(raizx + 2 - 2)(raizx + 2 + 2)

Passo 4

No denominador, o produto de conjugados simplifica a diferença de quadrados:
(raizx + 2 - 2)(raizx + 2 + 2) = (x + 2) - 4 = x - 2
Então a expressão fica
(2 - x),(raizx + 2 + 2)x - 2

Passo 5

Repare que 2 - x = -(x - 2). Substituindo isso, temos
Agora a indeterminação foi removida.

Passo 6

Por fim, avaliamos o limite da expressão simplificada quando x to 2:
-l(raiz2 + 2 + 2r) = -(2 + 2) = -4

Passo 7

Portanto, o limite existe e vale -4.

Resposta

-4

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