Considere a função
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Calcule a área limitada por
de
a
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Calcule a área limitada por
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pela curva f(x)=3x²−x−2, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3. O conteúdo envolvido é cálculo de área sob a curva via integral definida de um polinômio.
Passo 2
Antes de integrar, é bom verificar o sinal de f(x) em [1,3] para ver se precisamos de valor absoluto. Como as raízes de f(x) são x=1 e x=−2/3, em todo o intervalo de 1 a 3 temos f(x)≥0. Então a área é simplesmente a integral de f(x).
Passo 3
Montamos a integral definida da função no intervalo dado:
Passo 4
Agora encontramos uma antiderivada F(x) de f(x). Para um polinômio 3x²−x−2, a antiderivada é obtida elevando o grau e dividindo pelo novo expoente:
Passo 5
Finalmente avaliamos a integral definida pelos limites 1 e 3:
Calculando cada parte:
F(3)=27-\frac{9}{2}-6=27-4{,}5-6=16{,}5
F(1)=1-\frac{1}{2}-2=1-0{,}5-2=-1{,}5
Logo, Área=16{,}5-(-1{,}5)=18.
Passo 6
Portanto, a área limitada pela curva f(x), pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3 é 18 unidades de área.
Resposta
18