Considere a função f(x)=3 x^2-x-2.
Calcule a área limitada por f(x) de x=1 a x=3.

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva f(x)=3x²−x−2, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3. O conteúdo envolvido é cálculo de área sob a curva via integral definida de um polinômio.

Passo 2

Antes de integrar, é bom verificar o sinal de f(x) em [1,3] para ver se precisamos de valor absoluto. Como as raízes de f(x) são x=1 e x=−2/3, em todo o intervalo de 1 a 3 temos f(x)≥0. Então a área é simplesmente a integral de f(x).

Passo 3

Montamos a integral definida da função no intervalo dado:
Área = integral1^3l(3x^2-x-2r),dxÁ

Passo 4

Agora encontramos uma antiderivada F(x) de f(x). Para um polinômio 3x²−x−2, a antiderivada é obtida elevando o grau e dividindo pelo novo expoente:
F(x)=integrall(3x^2-x-2r),dx = x^3 - x^22 -2x + C

Passo 5

Finalmente avaliamos a integral definida pelos limites 1 e 3:
Área = F(3)-F(1) = l(3^3-3^22-2cdot3r)-l(1^3-1^22-2cdot1r)Á
Calculando cada parte:
F(3)=27-\frac{9}{2}-6=27-4{,}5-6=16{,}5
F(1)=1-\frac{1}{2}-2=1-0{,}5-2=-1{,}5
Logo, Área=16{,}5-(-1{,}5)=18.

Passo 6

Portanto, a área limitada pela curva f(x), pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3 é 18 unidades de área.

Resposta

18

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