Calcule o limite, se existir
lllim x 9 x^2-81raizx-3 & r) , lim h 0 (3+h)^-1-3^-1h

Passo 1

O enunciado pede dois limites:
  1. limxto9x^2-81raizx-3
  2. limhto0(3+h)^-1-3^-1h
    O conteúdo envolve indeterminações do tipo 0/0, manipulação algébrica (fatoração e conjugado) e, no segundo caso, reconhecimento da definição de derivada ou combinação de frações.

Passo 2

Para o primeiro limite, substituindo x=9 obtemos 9^2-81raiz9-3=00, indeterminação. Vamos fatorar o numerador usando diferença de quadrados:

Passo 3

x^2-81 = (x-9)(x+9),
e também sabemos que
x-9 = l(raizx-3r)l(raizx+3r)
Logo,
x^2-81 = (raizx-3)(raizx+3)(x+9)

Passo 4

Substituindo na fração original e cancelando raizx-3:
x^2-81raizx-3 = (raizx-3)(raizx+3)(x+9)raizx-3 = (raizx+3)(x+9)
Agora basta avaliar em x=9:
(raiz9+3)(9+9) = (3+3)cdot18 = 6cdot18 = 108

Passo 5

Para o segundo limite, note que
(3+h)^-1-3^-1h
é exatamente a diferença quociente de f(x)=1/x em x=3, isto é, a definição de f'(3). Podemos também fazer a combinação de frações:

Passo 6

1/(3+h)-1/3h = 3-(3+h)3(3+h)h = -h3(3+h)cdot1h = -13(3+h)
Tomando hto0 fica
-13,(3+0) = -19

Resposta

(a) 108
(b) -19

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