Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral ln traizt d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral ln traizt,dt
Esse tipo de integral envolve o produto de um logaritmo com uma potência de t, então vamos usar integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Reescrevemos o integrando como
ln traizt = ln t cdot t^-tfrac12
Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = ln t, dv = t^-tfrac12,dt

Passo 3

Calculamos
du = 1t,dt,
pois ddt(ln t)=1/t, e
v = integral t^-tfrac12,dt = 2,t^tfrac12

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral ln t , t^-tfrac12,dt = u,v - integral v,du = 2,t^tfrac12ln t - integral 2,t^tfrac12cdot 1t,dt
Dentro da integral restante temos 2,t^tfrac12-1=2,t^-tfrac12, cuja primitiva é 2cdot 2,t^tfrac12=4,t^tfrac12. Logo, a primitiva geral (sem a constante) é
2,t^tfrac12ln t - 4,t^tfrac12

Resposta

2raizt,ln t - 4raizt + C

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