Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e precisamos verificar se o valor do quociente é independente do caminho de aproximação.
Passo 2
Vamos primeiro analisar o caminho y=0. Substituindo y=0 na função temos f(x,0)=
. Logo, ao longo de y=0 o limite é 0.
Agora analisamos o caminho x=0. Substituindo x=0 obtemos f(0,y)= . Então, ao longo de x=0 o limite também é 0.
Agora analisamos o caminho x=0. Substituindo x=0 obtemos f(0,y)=
Passo 3
Para ver se existe dependência de caminho, escolhemos y=kx^4, com k constante. Substituindo esse caminho:
Passo 4
O valor
depende de k. Por exemplo, para k=0 o limite é 0, e para k=1 é 1. Como o resultado varia com o caminho, não há limite único.
Resposta
O limite não existe.