Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) 2 x^4 yx^8+y^2

Passo 1

O problema pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e precisamos verificar se o valor do quociente é independente do caminho de aproximação.

Passo 2

Vamos primeiro analisar o caminho y=0. Substituindo y=0 na função temos f(x,0)= 2x^4cdot0x^8+0^2=0. Logo, ao longo de y=0 o limite é 0.
Agora analisamos o caminho x=0. Substituindo x=0 obtemos f(0,y)= 2cdot0^4,y0^8+y^2=0. Então, ao longo de x=0 o limite também é 0.

Passo 3

Para ver se existe dependência de caminho, escolhemos y=kx^4, com k constante. Substituindo esse caminho:
f(x,kx^4)=2x^4cdot(kx^4)x^8+(kx^4)^2=2k,x^8x^8+k^2x^8=2k1+k^2

Passo 4

O valor 2k/(1+k^2) depende de k. Por exemplo, para k=0 o limite é 0, e para k=1 é 1. Como o resultado varia com o caminho, não há limite único.

Resposta

O limite não existe.

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