Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(y)}{2 x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\frac{x^{2}+\sin^{2}(y)}{2x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Para limites em duas variáveis, se o valor depender da trajetória de aproximação, o limite não existe.

Passo 2

Aproximando-se pela reta y=0, substituímos y=0 em f(x,y). Isso dá
\frac{x^{2}+\sin^{2}(0)}{2x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12.
Logo, nessa direção, o limite vale \tfrac12.

Passo 3

Aproximando-se pela reta x=0, substituímos x=0 em f(x,y). Isso dá
\frac{0^{2}+\sin^{2}(y)}{2\cdot0^{2}+y^{2}} =\frac{\sin^{2}(y)}{y^{2}} =\Bigl(\frac{\sin(y)}{y}\Bigr)^{2}.
Pelo fato de \lim_{y\to0}\frac{\sin(y)}{y}=1, segue que \lim_{(0,y)\to(0,0)}f(0,y)=1.

Passo 4

Como os limites por y=0 e por x=0 são diferentes \tfrac12\neq1, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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