Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é análise de limite de função de \mathbb{R}^{2} em um ponto, e vamos usar o teste de caminhos: se o valor ao longo de duas curvas diferentes for distinto, o limite não existe.

Passo 2

Analisamos o caminho y=0. Nesse caso, ao nos aproximarmos de (0,0) temos
\frac{x^{2}}{x^{2}+0} = 1.
Logo, ao longo de y=0, o limite vale 1.

Passo 3

Agora analisamos o caminho x=0. Aproximando de (0,0) por x=0, obtemos
\frac{0^{2}}{0 + y^{2}} = 0.
Portanto, ao longo de x=0, o limite vale 0.

Passo 4

Como os limites por esses dois caminhos são diferentes (um dá 1 e o outro dá 0), concluímos que o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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