Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2 sen^2 yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de
f(x,y)=x^2sin^2yx^2+y^2
quando
(x,y)to(0,0). Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Aperto) para mostrar que esse limite é zero.

Passo 2

Primeiro, lembramos da desigualdade fundamental de que
|sin y|<=|y|para todo y

Passo 3

Usando essa desigualdade no numerador temos:
x^2sin^2y<= x^2y^2

Passo 4

Logo, em valor absoluto,
l|f(x,y)r|=|x^2sin^2yx^2+y^2|<=x^2y^2x^2+y^2

Passo 5

Para comparar x^2y^2 com x^2+y^2 usamos a desigualdade entre média aritmética e geométrica:
|x y|<=x^2+y^22implies x^2y^2<=l(x^2+y^22r)^2=(x^2+y^2)^24

Passo 6

Assim,
l|f(x,y)r|<=(x^2+y^2)^2/4x^2+y^2=x^2+y^24

Passo 7

Como x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue pelo Teorema do Confronto que
f(x,y)to0

Resposta

0

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