Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Região triangular
, onde
é a regiāo limitada pelas retas
e
.
Região triangular
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região triangular
limitada pelas retas
,
e
. O conteúdo envolvido é mudança de ordem de integração em integrais duplas e cálculo de integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro esboçamos a região e identificamos seus vértices. As interseções são:
– com
em
.
– com
em
.
– com
em
.
Isso descreve um triângulo com vértices .
–
–
–
Isso descreve um triângulo com vértices
Passo 3
Escolhemos inicialmente a ordem
. Para cada
em
,
varia de
até
. Para
em
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora invertemos a ordem para
. Observamos que a coordenada
vai de 0 até
, e dividimos em dois trechos:
– Para , as fronteiras em
são entre
e
.
– Para , as fronteiras em
são entre
e
(da reta
).
– Para
– Para
Passo 5
Portanto
Em cada trecho calculamos a integral interna
e avaliamos nos limites correspondentes. No primeiro trecho obtemos
Passo 6
No segundo trecho, desenvolvendo as expressões, chega-se a
Passo 7
Somando as duas partes e reduzindo, o resultado final é
Resposta
13/81