Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Região triangular integral duplaR x y d A, onde R é a regiāo limitada pelas retas y=x, y=2 x e x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x,y,dA sobre a região triangular R limitada pelas retas y=x, y=2x e x+y=2. O conteúdo envolvido é mudança de ordem de integração em integrais duplas e cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro esboçamos a região e identificamos seus vértices. As interseções são:
y=x com x+y=2 em (1,1).
y=2x com x+y=2 em (2/3,4/3).
y=x com y=2x em (0,0).
Isso descreve um triângulo com vértices (0,0),(1,1),(2/3,4/3).

Passo 3

Escolhemos inicialmente a ordem dy,dx. Para cada x em [0,2/3], y varia de y=x até y=2x. Para x em [2/3,1], y varia de y=x até y=2-x.

Passo 4

Agora invertemos a ordem para dx,dy. Observamos que a coordenada y vai de 0 até 4/3, e dividimos em dois trechos:
– Para yin[0,1], as fronteiras em x são entre y=2ximplies x=y/2 e y=ximplies x=y.
– Para x, as fronteiras em x=y/2 são entre x=2-y e x+y=2 (da reta ).

Passo 5

Portanto
integral duplaR x,y,dA = integral0^1! gl(integralx=y/2^x=yx,y,dxgr)dy + integral1^4/3! gl(integralx=y/2^x=2-yx,y,dxgr)dy .
Em cada trecho calculamos a integral interna
integral x,y,dx = yintegral x,dx = yx^22
e avaliamos nos limites correspondentes. No primeiro trecho obtemos
integral0^1 l(ytfracy^22 - ytfrac(y/2)^22r)dy = integral0^1 3y^38,dy = 38cdot14=332

Passo 6

No segundo trecho, desenvolvendo as expressões, chega-se a
integral1^4/3 l(2y -2y^2 + tfrac3y^38r)dy = 1732592

Passo 7

Somando as duas partes e reduzindo, o resultado final é
332 + 1732592 = 1381

Resposta

13/81

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