Determine se o limite existe. Se existir, encontre seu valor.
lim (x, y, z) (0,0,0) 3 x^2 zx^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe o limite de uma função de três variáveis e, em caso afirmativo, encontrar seu valor. O conteúdo envolvido é limite em múltiplas variáveis e usaremos o teorema do aperto (squeeze theorem) para mostrar que a função tende a um valor fixo, independentemente do caminho de aproximação.

Passo 2

Temos a função
f(x,y,z)=3x^2zx^2+y^2+z^2
Para mostrar que o limite existe e é igual a L, precisamos provar que, quando (x,y,z)to(0,0,0), o valor de f(x,y,z) fica arbitrariamente perto de L, independentemente de como o ponto se aproxima da origem.

Passo 3

Vamos aplicar o teorema do aperto. Primeiro observamos o valor absoluto:
|f(x,y,z)|=|3x^2zx^2+y^2+z^2|=3,x^2,|z|x^2+y^2+z^2
Seja r=raizx^2+y^2+z^2. Então x^2<= r^2 e |z|<= r, logo
|f(x,y,z)|<=3,r^2cdot rr^2=3r
Como rto0 quando (x,y,z)to(0,0,0), segue que |f(x,y,z)|<=3rto0.

Passo 4

Pelo teorema do aperto, como |f(x,y,z)| fica preso entre 0 e algo que tende a 0, concluímos que
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=0

Resposta

0

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