Determine se o limite existe. Se existir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe o limite de uma função de três variáveis e, em caso afirmativo, encontrar seu valor. O conteúdo envolvido é limite em múltiplas variáveis e usaremos o teorema do aperto (squeeze theorem) para mostrar que a função tende a um valor fixo, independentemente do caminho de aproximação.
Passo 2
Temos a função
Para mostrar que o limite existe e é igual a L, precisamos provar que, quando , o valor de fica arbitrariamente perto de L, independentemente de como o ponto se aproxima da origem.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema do aperto. Primeiro observamos o valor absoluto:
Seja r=raizx^2+y^2+z^2. Então x^2<= r^2 e |z|<= r, logo
|f(x,y,z)|<=3,r^2cdot rr^2=3r
Como rto0 quando (x,y,z)to(0,0,0), segue que |f(x,y,z)|<=3rto0.
Passo 4
Pelo teorema do aperto, como |f(x,y,z)| fica preso entre 0 e algo que tende a 0, concluímos que