Calcule o seguinte limite, caso exista:
lim (x, y) (0,0) sen(x^2 y^2)x^2+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite lim(x,y)to(0,0) sin(x^2y^2)x^2+y^2. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) junto com a desigualdade |sin t|<=|t|.

Passo 2

Usando a desigualdade para o seno, temos
gl|sin(x^2y^2)x^2+y^2gr| <= |x^2y^2|x^2+y^2 = x^2y^2x^2+y^2

Passo 3

Agora, para estimar o quociente, note que x^2+y^2>=2|xy|. Logo,
x^2y^2x^2+y^2 <= x^2y^22|xy| = |xy|2
E sabemos que lim(x,y)to(0,0) |xy|2 = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
0 <= gl|sin(x^2y^2)x^2+y^2gr| <= |xy|2
e |xy|2to0, concluímos que o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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