Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim substackx 0 y 0 2 x^3-x y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
lim(x,y)to(0,0) 2x^3 - x y^2x^2+y^2
Este é um limite de função de duas variáveis em R^2. Para mostrar que existe e encontrar seu valor, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Quando (x,y)to(0,0), temos rto0.

Passo 3

Substituindo na expressão, o numerador fica
2x^3 - x y^2 =2(rcostheta)^3 - (rcostheta)(rsintheta)^2 =r^3costhetal(2cos^2theta - sin^2thetar) =r^3costhetal(3cos^2theta -1r),
e o denominador é
x^2+y^2 = r^2
Logo, a função torna-se
2x^3 - x y^2x^2+y^2 =r^3costheta,(3cos^2theta -1)r^2 =rcostheta,(3cos^2theta -1)

Passo 4

A função costheta,(3cos^2theta-1) é limitada, digamos por uma constante C. Portanto
l|rcostheta,(3cos^2theta -1)r|<= r,C,
e quando rto0 isso tende a 0 para todo theta. Logo o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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