Exercício 1.5.1. Calcule os limites:
lim (x, y) (1,2) ln (x y-12 x y+4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função composta
f(x,y) = ln!gl(xy-12xy+4gr)
quando (x,y)to(1,2). O conteúdo aqui é uso da continuidade de funções elementares (racional e logaritmo) e substituição direta, desde que o denominador não seja zero e o argumento do ln seja positivo.

Passo 2

Definimos primeiro
g(x,y) = xy-12xy+4
Como é uma função racional, e o denominador em (1,2) é
2cdot1cdot2 + 4 = 8 neq 0,
podemos fazer substituição direta:
g(1,2) = 1cdot2 - 18 = 18

Passo 3

O logaritmo natural ln é contínuo no seu domínio (0,infty), e aqui g(1,2)=1/8>0. Logo
lim(x,y)to(1,2) ln!l(g(x,y)r) = ln!l(lim(x,y)to(1,2) g(x,y)r) = ln!l(tfrac18r) = -ln 8 = -3ln 2

Resposta

lim(x,y)to(1,2) ln!l(xy-12xy+4r) = -3ln 2

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