Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis em um ponto e podemos usar expansão em série (ou coordenadas polares) para analisar o comportamento quando (x,y) está próximo de (0,0).

Passo 2

Vamos usar a expansão de Taylor de ordem 1 para a função exponencial em uma variável u pequena:
e^{u} = 1 + u + o(u),\quad u\to0.
Aqui podemos tomar u = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), que tende a zero quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Substituindo u = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) na expansão, obtemos
e^{-x^{2}-y^{2}} = 1 - (x^{2}+y^{2}) + o\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Logo, o numerador fica
e^{-x^{2}-y^{2}} - 1 = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + o\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Agora dividimos pelo denominador x^{2}+y^{2}:
\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}} = \frac{-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + o\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} = -1 + \frac{o\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
Como \frac{o\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), o quociente tende a -1.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}} = -1.

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