Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y) = \frac{e^{-x^{2}-y^{2}} - 1}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e como a expressão só depende de r^{2}=x^{2}+y^{2}, vamos usar coordenadas polares e expansão em série de Taylor.

Passo 2

Defina r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então
f(x,y) = \frac{e^{-r^{2}} - 1}{r^{2}}.
Como f depende apenas de r, reduzimos o problema ao limite unidimensional \lim_{r\to0}\frac{e^{-r^{2}} - 1}{r^{2}}.

Passo 3

Use a expansão de Taylor de e^{t} em torno de t=0:
e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + O(t^{3}).
Aqui t=-r^{2}, logo
e^{-r^{2}} = 1 - r^{2} + \frac{r^{4}}{2} + O(r^{6}).

Passo 4

Subtraindo 1 e dividindo por r^{2}, obtemos
\frac{e^{-r^{2}} - 1}{r^{2}} = \frac{-r^{2} + \tfrac{r^{4}}{2} + O(r^{6})}{r^{2}} = -1 + \frac{r^{2}}{2} + O(r^{4}).

Passo 5

Ao fazer r\to0, os termos \tfrac{r^{2}}{2} e O(r^{4}) vão a zero, ficando
\lim_{r\to0}\frac{e^{-r^{2}} - 1}{r^{2}} = -1.
Como não depende da direção de aproximação, o limite existe.

Resposta

-1

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