Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
\ln \left(x^{2}+y^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de continuidade da função \displaystyle f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}-4\bigr).
Aqui o conteúdo é continuidade de função de duas variáveis obtida por composição: primeiro calculamos o domínio (onde a função está definida) e depois usamos o fato de que soma de quadrados é contínua e \ln é contínua em (0,\infty).

Passo 2

Para que \ln\bigl(x^{2}+y^{2}-4\bigr) esteja definida, seu argumento deve ser positivo:
x^{2}+y^{2}-4>0
Logo o domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}.

Passo 3

Sabemos que a função
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4
é polinomial, logo contínua em \mathbb{R}^{2}, e que \ln é contínua em (0,\infty). A composição
f(x,y)=\ln\bigl(g(x,y)\bigr)
é contínua em todo ponto onde g(x,y)>0, isto é, em todo o domínio encontrado.

Resposta

\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}

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