Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
z=x+yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis z=x+yx^2+y^2 quando (x,y) se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é limite em funções de duas variáveis, e vamos precisar lembrar que o limite existe só se for o mesmo por qualquer caminho de chegada a (0,0).

Passo 2

Uma estratégia clássica é testar caminhos diferentes. Primeiro, vamos seguir o caminho y=0. Substituindo na função, temos
z(x,0)=x+0x^2+0^2=xx^2=1x
Ao fazermos xto0, tfrac1x não se aproxima de um valor finito: tende a +infty se xto0^+ e a -infty se xto0^-.

Passo 3

Agora vamos seguir o caminho y=-x. Substituindo na função,
z(x,-x)=x+(-x)x^2+(-x)^2=02x^2=0
Aqui o valor se mantém sempre em 0, independentemente de como xto0.

Passo 4

Como encontramos dois caminhos com comportamentos diferentes (infinito em um e zero no outro), o limite não pode ser único. Concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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