Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x\right)}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios (produto e potência de polinômios).
  • A variável tende para +\infty.
    O que se quer: o valor do limite quando x\to\infty, ou justificar que não existe.

Passo 2

Estratégia escolhida (e por que): para limites de frações de polinômios quando x\to\infty é eficiente comparar os graus (potências) dos polinômios no numerador e no denominador ou então fatorar a maior potência de x comum e avaliar os termos que tendem a zero. Aqui isso é simples porque a expressão resulta em polinômios de grau finito; vou usar ambos os pontos de vista (comparar graus e fatorar x^4) para tornar claro e rigoroso.

Passo 3

Determinar o grau e o coeficiente líder do numerador. Desenvolvendo ou identificando o termo de maior grau:
\left(2x^{2}+1\right)^{2} = 4x^{4} + 4x^{2} + 1.
Logo o numerador é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder 4.

Passo 4

Determinar o grau e o coeficiente líder do denominador. Podemos expandir
(x-1)^{2}(x^{2}+x).
Primeiro (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Multiplicando por x^{2}+x:
(x^{2}-2x+1)(x^{2}+x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x.
Assim o denominador é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder 1.

Passo 5

Comparando graus: tanto numerador quanto denominador têm grau 4. Quando as duas partes têm o mesmo grau, o limite quando x\to\infty é o quociente dos coeficientes líderes. Aqui isso dá
\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{4}+\cdots}{1x^{4}+\cdots}=\frac{4}{1}=4.
Para ver isso de forma adicional e um pouco mais “formal”, fatoramos x^{4} das partes:

Passo 6

Fatorando x^{4}:
\frac{\left(2x^{2}+1\right)^{2}}{(x-1)^{2}(x^{2}+x)} = \frac{x^{4}\left(2+\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x^{4}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
Cancelando x^{4} e usando que \dfrac{1}{x}\to0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando x\to\infty, obtém-se
\lim_{x\to\infty}\frac{\left(2+\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)} =\frac{(2+0)^{2}}{(1-0)^{2}(1+0)}=\frac{4}{1}=4.

Passo 7

Breve explicação didática da regra usada: para uma razão de polinômios \dfrac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots},
  • se n>m o limite em +\infty é +\infty ou -\infty dependendo dos sinais dos coeficientes líderes;
  • se n<m o limite é 0;
  • se n=m o limite é \dfrac{a_n}{b_m}.
    Aqui aplicou-se o caso n=m=4.

Resposta

4

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