Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios (produto e potência de polinômios).
- A variável tende para
.
O que se quer: o valor do limite quando, ou justificar que não existe.
Passo 2
Estratégia escolhida (e por que): para limites de frações de polinômios quando
é eficiente comparar os graus (potências) dos polinômios no numerador e no denominador ou então fatorar a maior potência de
comum e avaliar os termos que tendem a zero. Aqui isso é simples porque a expressão resulta em polinômios de grau finito; vou usar ambos os pontos de vista (comparar graus e fatorar
) para tornar claro e rigoroso.
Passo 3
Determinar o grau e o coeficiente líder do numerador. Desenvolvendo ou identificando o termo de maior grau:
Logo o numerador é um polinômio de grau
com coeficiente líder
.
Passo 4
Determinar o grau e o coeficiente líder do denominador. Podemos expandir
Primeiro
. Multiplicando por
:
Assim o denominador é um polinômio de grau
com coeficiente líder
.
Passo 5
Comparando graus: tanto numerador quanto denominador têm grau
. Quando as duas partes têm o mesmo grau, o limite quando
é o quociente dos coeficientes líderes. Aqui isso dá
Para ver isso de forma adicional e um pouco mais “formal”, fatoramos
das partes:
Passo 6
Fatorando
:
Cancelando
e usando que
e
quando
, obtém-se
Passo 7
Breve explicação didática da regra usada: para uma razão de polinômios
,
- se
o limite em é ou dependendo dos sinais dos coeficientes líderes; - se
o limite é ; - se
o limite é .
Aqui aplicou-se o caso.