Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{1+t^{6}}{t^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to -\infty} \frac{1+t^{6}}{t^{4}+1}.
Informações dadas:
  • A variável vai para -\infty (ou seja, valores de t com grande módulo e sinal negativo).
  • O numerador é o polinômio 1+t^{6}.
  • O denominador é o polinômio t^{4}+1.
    A pergunta é: qual o valor desse limite (um número finito) ou por que ele não existe (por exemplo, diverge para +\infty ou -\infty).

Passo 2

Ideia principal (intuição que será formalizada): para t com grande módulo, os termos de maior grau dominam o comportamento dos polinômios. Aqui o maior grau no numerador é 6 (termo t^6) e no denominador é 4 (termo t^4). Portanto espera-se que a razão se comporte como algo do tipo t^{6-4}=t^2 quando |t| é grande. Vou transformar a expressão de modo a tornar essa conclusão rigorosa.

Passo 3

Fatorar potências para destacar o comportamento assintótico. Factor no numerador a potência t^{6} e no denominador a potência t^{4}:
\frac{1+t^{6}}{t^{4}+1}=\frac{t^{6}\!\left(1+\dfrac{1}{t^{6}}\right)}{t^{4}\!\left(1+\dfrac{1}{t^{4}}\right)}.
Agora simplificamos t^{6}/t^{4}=t^{2} para obter
\frac{1+t^{6}}{t^{4}+1}=t^{2}\cdot\frac{1+\dfrac{1}{t^{6}}}{1+\dfrac{1}{t^{4}}}.

Passo 4

Estudar o fator racional que acompanha t^{2}. Quando t\to -\infty temos \dfrac{1}{t^{k}}\to 0 para todo k>0, porque 1/|t|^{k}\to 0. Assim
\lim_{t\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t^{6}}\right)=1, \qquad \lim_{t\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t^{4}}\right)=1,
e portanto
\lim_{t\to -\infty}\frac{1+\dfrac{1}{t^{6}}}{1+\dfrac{1}{t^{4}}}=1.

Passo 5

Combinar os resultados. Usando a decomposição do Passo 3 e o limite do fator racional do Passo 4,
\lim_{t\to -\infty}\frac{1+t^{6}}{t^{4}+1} =\lim_{t\to -\infty}\left(t^{2}\cdot\frac{1+\dfrac{1}{t^{6}}}{1+\dfrac{1}{t^{4}}}\right) =\left(\lim_{t\to -\infty}t^{2}\right)\cdot 1.
Agora, \lim_{t\to -\infty}t^{2}=+\infty, porque t^{2} é sempre não negativa e cresce sem limite quando |t| cresce. Logo o produto tende a +\infty.

Passo 6

Interpretação final: o limite não é um número finito; a expressão diverge e cresce sem limite positivo à medida que t\to -\infty. Em símbolos, o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados