Calcule o limite ou explique porque ele não existe. \lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{1+t^{6}}{t^{4}+1}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to -\infty} \frac{1+t^{6}}{t^{4}+1}.
Informações dadas:
A variável vai para -\infty (ou seja, valores de t com grande módulo e sinal negativo).
O numerador é o polinômio 1+t^{6}.
O denominador é o polinômio t^{4}+1.
A pergunta é: qual o valor desse limite (um número finito) ou por que ele não existe (por exemplo, diverge para +\infty ou -\infty).
Passo 2
Ideia principal (intuição que será formalizada): para t com grande módulo, os termos de maior grau dominam o comportamento dos polinômios. Aqui o maior grau no numerador é 6 (termo t^6) e no denominador é 4 (termo t^4). Portanto espera-se que a razão se comporte como algo do tipo t^{6-4}=t^2 quando |t| é grande. Vou transformar a expressão de modo a tornar essa conclusão rigorosa.
Passo 3
Fatorar potências para destacar o comportamento assintótico. Factor no numerador a potência t^{6} e no denominador a potência t^{4}:
Agora, \lim_{t\to -\infty}t^{2}=+\infty, porque t^{2} é sempre não negativa e cresce sem limite quando |t| cresce. Logo o produto tende a +\infty.
Passo 6
Interpretação final: o limite não é um número finito; a expressão diverge e cresce sem limite positivo à medida que t\to -\infty. Em símbolos, o limite é +\infty.