Existe um número a tal que \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}+a x+a+3}{x^{2}+x-2} exista? Caso exista, encontre a e o valor do limite.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{3x^{2}+ax+a+3}{x^{2}+x-2}
e pergunta se existe um número a tal que \displaystyle\lim_{x\to2} f(x) exista. Se existir, pede para encontrar esse a e o valor do limite.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão é uma fração de polinômios com parâmetro a.
  • O ponto de interesse para o limite é x=2.
  • O que se quer saber é se o limite existe (ou seja, é um número finito) e, em caso afirmativo, qual é esse a e qual é o valor do limite.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que, se p(x) e q(x) são polinômios e q\text{(c)}\neq0, então a função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} é contínua em x=c e
\lim_{x\to c}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p\text{(c)}}{q\text{(c)}}.
Portanto, para que possamos simplesmente substituir x=2 e obter o limite, precisamos garantir que o denominador em x=2 seja diferente de zero.

Passo 3

Calculemos o denominador em x=2. Usando a expressão do enunciado:
x^{2}+x-2 \quad\text{em}\quad x=2
2^{2}+2-2 = 4+2-2 = 4.
Como 4\neq0, o denominador não zera em x=2.
Conclusão desse passo: a condição necessária para usar a continuidade (denominador diferente de zero) está satisfeita independentemente do valor de a. Logo, não há restrição sobre a vinda do denominador: qualquer a é aceitável quanto à existência do limite.

Passo 4

Aplicando a ideia da continuidade (substituição direta), o limite existe para todo a e é dado por substituir x=2 em numerador e denominador. Primeiro avaliaremos o numerador em x=2:
3x^{2}+ax+a+3 \quad\text{em}\quad x=2
3\cdot 2^{2} + a\cdot 2 + a + 3 = 3\cdot 4 + 2a + a + 3 = 12 + 3a + 3 = 15 + 3a.

Passo 5

Agora o valor do limite é
\lim_{x\to2}\frac{3x^{2}+ax+a+3}{x^{2}+x-2}=\frac{15+3a}{4}.
Podemos também escrever de forma factorizada:
\frac{15+3a}{4}=\frac{3(5+a)}{4}.

Passo 6

Comentário pedagógico extra (quando isso costuma confundir): se o denominador fosse zero em x=2, então não poderíamos simplesmente substituir e precisaríamos verificar se o numerador também zera para que haja possibilidade de cancelamento (caso de descontinuidade removível). Exemplo rápido: \lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2} não permite substituição direta porque o denominador zera em 2, mas o numerador também zera; simplificando \dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2 para x\neq2, o limite existe e vale 4. No nosso problema isso não é necessário porque o denominador em 2 já vale 4\neq0.

Resposta

Qualquer a\in\mathbb{R}.
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{3x^{2}+ax+a+3}{x^{2}+x-2}=\frac{3(5+a)}{4}

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