Existe um número
tal que
exista? Caso exista, encontre
e o valor do limite.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pergunta se existe um número
tal que
exista. Se existir, pede para encontrar esse
e o valor do limite.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão é uma fração de polinômios com parâmetro
. - O ponto de interesse para o limite é
. - O que se quer saber é se o limite existe (ou seja, é um número finito) e, em caso afirmativo, qual é esse
e qual é o valor do limite.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): polinômios são funções contínuas em todo
. Isso significa que, se
e
são polinômios e
, então a função racional
é contínua em
e
Portanto, para que possamos simplesmente substituir
e obter o limite, precisamos garantir que o denominador em
seja diferente de zero.
Passo 3
Calculemos o denominador em
. Usando a expressão do enunciado:
Como
, o denominador não zera em
.
Conclusão desse passo: a condição necessária para usar a continuidade (denominador diferente de zero) está satisfeita independentemente do valor de
. Logo, não há restrição sobre
vinda do denominador: qualquer
é aceitável quanto à existência do limite.
Passo 4
Aplicando a ideia da continuidade (substituição direta), o limite existe para todo
e é dado por substituir
em numerador e denominador. Primeiro avaliaremos o numerador em
:
Passo 5
Agora o valor do limite é
Podemos também escrever de forma factorizada:
Passo 6
Comentário pedagógico extra (quando isso costuma confundir): se o denominador fosse zero em
, então não poderíamos simplesmente substituir e precisaríamos verificar se o numerador também zera para que haja possibilidade de cancelamento (caso de descontinuidade removível). Exemplo rápido:
não permite substituição direta porque o denominador zera em
, mas o numerador também zera; simplificando
para
, o limite existe e vale
. No nosso problema isso não é necessário porque o denominador em
já vale
.
Resposta
Qualquer
.