Esboce o gráfico de uma função que seja contínua, exceto para a descontinuidade declarada em cada item a seguir.
Descontínua em x=1 e x=4, porém contínua à direita em x=1 e contínua à esquerda em x=1
Passo 1
O enunciado pede um esboço (gráfico) de uma função que satisfaça as seguintes condições: ela seja descontínua em x=1 e em x=4, porém seja contínua à direita em x=1 e contínua à esquerda em x=1.
Observação: o enunciado tal como está escrito contém uma contradição óbvia (diz duas vezes condições de continuidade lateral em x=1 que juntas implicariam continuidade total em x=1). Vou interpretar a intenção didática comum desse tipo de exercício e tomar a condição correta como: a função deve ser contínua à direita em x=1 e contínua à esquerda em x=4. Ou seja, quero:
descontinuidade em x=1 com continuidade lateral pela direita em x=1;
descontinuidade em x=4 com continuidade lateral pela esquerda em x=4.
Essas são as informações que vou usar para construir a função.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma simples e prática) o que significam essas palavras, para poder construir a função corretamente.
A função f é contínua em um ponto c quando
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Isto significa que os dois limites laterais existem e são iguais, e esse valor coincide com o valor da função em c.
A função é contínua pela direita em c quando
\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
Aqui só exigimos igualdade entre o limite vindo da direita e o valor f\text{(c)}.
A função é contínua pela esquerda em c quando
\lim_{x\to c^-} f(x)=f\text{(c)}.
Se os limites laterais existem mas são diferentes entre si (por exemplo \lim_{x\to c^-} f(x)\neq\lim_{x\to c^+} f(x)), então temos uma descontinuidade do tipo “salto” (jump). É exatamente esse tipo de descontinuidade que costuma aparecer quando se pede continuidade só de um lado.
Agora que sabemos o que queremos em termos de limites e valores, vamos construir um exemplo simples.
Passo 3
Estratégia prática para o esboço: escolher trechos simples (retas horizontais) para cada intervalo, e definir valores pontuais em x=1 e x=4 de modo a:
em x=1: ter \lim_{x\to1^+}f(x)=f(1) (continuidade pela direita) mas \lim_{x\to1^-}f(x)\neq f(1) (então descontinuidade total em 1);
em x=4: ter \lim_{x\to4^-}f(x)=f(4) (continuidade pela esquerda) mas \lim_{x\to4^+}f(x)\neq f(4) (então descontinuidade total em 4).
Usar constantes facilita a verificação gráfica e analítica.
Passo 4
Defino a função por partes (muito simples), que já será fácil desenhar:
Esta escolha significa: para x<1 a função é a reta horizontal y=0; entre 1 e 4 (excluindo os pontos) a função é y=2; para x>4 a função é y=5. Nos pontos x=1 e x=4 dei explicitamente o valor 2.]
Passo 5
Verificação ponto a ponto (mostrando por que a construção funciona — isto é a “aula” prática sobre tipos de descontinuidade).
Em x=1:
a partir da esquerda temos
\lim_{x\to1^-} f(x)=0,
porque para x<1 a função vale 0.
a partir da direita temos
\lim_{x\to1^+} f(x)=2,
porque para 1<x<4 a função vale 2.
e f(1)=2 por definição. Logo
\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1),
então a função é contínua pela direita em x=1. Entretanto \lim_{x\to1^-} f(x)\neq f(1), portanto a função é descontínua em x=1 (descontinuidade do tipo salto).
Em x=4:
a partir da esquerda
\lim_{x\to4^-} f(x)=2,
porque para 1<x<4 a função vale 2.
a partir da direita
\lim_{x\to4^+} f(x)=5,
porque para x>4 a função vale 5.
e f(4)=2 por definição. Assim
\lim_{x\to4^-} f(x)=f(4),
logo a função é contínua pela esquerda em x=4. Mas \lim_{x\to4^-} f(x)\neq\lim_{x\to4^+} f(x), então há descontinuidade em x=4 (também do tipo salto).
Em qualquer outro ponto dentro de cada intervalo onde a função é constante, ela é contínua, pois funções constantes são contínuas em todos os pontos do domínio desses intervalos.
Passo 6
Como esboçar esse gráfico na prova (passos práticos e rápidos para desenhar):
Desenhe uma linha horizontal em y=0 para x<1. No ponto x=1 dessa linha coloque um círculo aberto em (1,0) porque f(1)\neq0.
Para 1<x<4 desenhe a linha horizontal em y=2. No x=1 dessa linha coloque um ponto fechado em (1,2) (pois f(1)=2 e a continuidade pela direita é mostrada pela junção do ponto fechado com a linha à direita). No x=4 dessa linha também coloque um ponto fechado em (4,2) (pois f(4)=2 e a continuidade pela esquerda).
Para x>4 desenhe a linha horizontal em y=5. Em x=4 sobre essa linha coloque um círculo aberto em (4,5) para indicar que o ramo à direita não atinge o valor da função em 4.
Esses elementos (linhas horizontais, círculos abertos e pontos fechados) capturam visualmente a continuidade lateral exigida e as descontinuidades em 1 e 4.
Passo 7
Resumo intuitivo (pra ficar na cabeça): em x=1 a função “salta” vindo da esquerda (estava em 0) e atinge 2 no ponto e para a direita fica em 2; em x=4 a função vem de 2 à esquerda e no ponto 4 vale 2, mas à direita salta para 5. Dois saltos, cada um com continuidade apenas de um lado, exatamente o pedido.