Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{-x}+2 \cos (3 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{-x}+2\cos(3x)\bigr).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a soma de duas parcelas: \,e^{-x}\, e \,2\cos(3x).
  • A pergunta é se a soma tem um limite finito quando x\to\infty, e se sim qual é esse valor; caso contrário, explicar por que não existe.

Passo 2

Analisar separadamente a parcela \,e^{-x}.
  • Definição e ideia: \,e^{x}\, cresce sem limites quando x\to\infty. Logo o recíproco \,e^{-x} = 1/e^{x}\, tende a zero.
  • Formalmente:
\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0.
  • Intuição prática: a função exponencial decrescente \,e^{-x}\, fica cada vez mais próxima de zero quando x aumenta; em particular seus valores são sempre positivos e menores que qualquer \varepsilon>0 para x suficientemente grande.

Passo 3

Analisar a parcela \,2\cos(3x).
  • Sabendo que \cos é uma função oscilante com valores entre -1 e 1, conclui-se que \,2\cos(3x)\, está sempre entre -2 e 2:
-2 \le 2\cos(3x) \le 2\quad\text{para todo }x.
  • Mais importante: \cos(3x) não tem limite quando x\to\infty porque continua oscilando indefinidamente. Uma maneira clara de ver isso é construir subsequências de x ao longo das quais \cos(3x) toma valores distintos (por exemplo 1 e -1).

Passo 4

Construir subsequências que mostram limites diferentes da soma.
  • Para obter \cos(3x)=1 basta escolher x tal que 3x=2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Defina a sequência
x_n = \frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{N}.
Então \cos(3x_n)=1 e, usando \lim_{n\to\infty} e^{-x_n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}\bigl(e^{-x_n}+2\cos(3x_n)\bigr) = \lim_{n\to\infty}\bigl(e^{-x_n}+2\cdot 1\bigr) = 0 + 2 = 2.
  • Para obter \cos(3x)=-1 escolha x tal que 3x=\pi+2\pi k. Defina a sequência
y_n = \frac{\pi+2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{N}.
Então \cos(3y_n)=-1 e, novamente \lim_{n\to\infty} e^{-y_n}=0, portanto
\lim_{n\to\infty}\bigl(e^{-y_n}+2\cos(3y_n)\bigr) = \lim_{n\to\infty}\bigl(e^{-y_n}+2\cdot(-1)\bigr) = 0 - 2 = -2.

Passo 5

Concluir que o limite não existe.
  • Obtivemos duas subsequências (x_n) e (y_n) com comportamentos limites distintos para a mesma função: uma subsequência tende a 2 e outra tende a -2.
  • Quando uma função tem subsequências com limites diferentes, o limite global quando x\to\infty não existe.
  • Observação adicional: como \lim_{x\to\infty} e^{-x}=0, tem-se \limsup_{x\to\infty}\bigl(e^{-x}+2\cos(3x)\bigr)=2 e \liminf_{x\to\infty}\bigl(e^{-x}+2\cos(3x)\bigr)=-2, reforçando a ausência de limite único.

Resposta

O limite não existe.

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