Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a soma de duas parcelas:
e . - A pergunta é se a soma tem um limite finito quando
, e se sim qual é esse valor; caso contrário, explicar por que não existe.
Passo 2
Analisar separadamente a parcela
.
- Definição e ideia:
cresce sem limites quando . Logo o recíproco tende a zero. - Formalmente:
- Intuição prática: a função exponencial decrescente
fica cada vez mais próxima de zero quando aumenta; em particular seus valores são sempre positivos e menores que qualquer para suficientemente grande.
Passo 3
Analisar a parcela
.
- Sabendo que
é uma função oscilante com valores entre e , conclui-se que está sempre entre e :
- Mais importante:
não tem limite quando porque continua oscilando indefinidamente. Uma maneira clara de ver isso é construir subsequências de ao longo das quais toma valores distintos (por exemplo e ).
Passo 4
Construir subsequências que mostram limites diferentes da soma.
- Para obter
basta escolher tal que com . Defina a sequência
Então
e, usando
, temos
- Para obter
escolha tal que . Defina a sequência
Então
e, novamente
, portanto
Passo 5
Concluir que o limite não existe.
- Obtivemos duas subsequências
e com comportamentos limites distintos para a mesma função: uma subsequência tende a e outra tende a . - Quando uma função tem subsequências com limites diferentes, o limite global quando
não existe. - Observação adicional: como
, tem-se e , reforçando a ausência de limite único.
Resposta
O limite não existe.