Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas em cada item. Identifique as descontinuidades de cada função, especificando o tipo.
A função f é contínua em (-\infty, 2] e (2,+\infty) ; \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=4 ; \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=-3; \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Condições fornecidas:
A função f é contínua em (-\infty,2] e em (2,+\infty).
\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=4.
\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=-3.
\displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty.
\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=0.
O que o enunciado pede:
Esboçar (descrever como desenhar) um gráfico de uma função que satisfaça todas as condições acima.
Identificar as descontinuidades dessa função e especificar o tipo de cada uma.
Passo 2
Interpretação precisa da informação sobre continuidade em (-\infty,2] e (2,+\infty).
Dizer que f é contínua em (-\infty,2] significa: f é contínua em todo ponto x<2 e é contínua à esquerda em x=2. Em particular, a continuidade em (-\infty,2] garante que o valor de f em x=2 existe e coincide com o limite pela esquerda.
Dizer que f é contínua em (2,+\infty) significa que em todos os pontos estritamente maiores que 2 a função é contínua (não dá informação sobre x=2 pela direita).
Assim: o valor f(2) existe e deve ser igual a \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=-3.
Passo 3
Conseqüências imediatas das condições de limite e continuidade.
Como f é contínua em (-\infty,2] e \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=-3, segue quef(2)=-3.Ou seja, no ponto x=2 a função está definida e o ponto (2,-3) deve estar no gráfico (ponto preenchido).
A condição \displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty significa que, aproximando-se de 2 pela direita, os valores de f(x) crescem sem limite; isto é, existe uma assíntota vertical em x=2 do lado direito (a função “explode” para +\infty quando x\to2^+).
Como as duas faces laterais em x=2 não coincidem (esquerda é -3, direita é +\infty), o limite bilateral \lim_{x\to2} f(x) não existe, logo x=2 é um ponto de descontinuidade.
Passo 4
Classificação das descontinuidades — conceito e aplicação ao caso.
Tipos comuns de descontinuidade:
Removível: \lim_{x\to a} f(x) existe finito, mas é diferente de f(a) ou f(a) não está definido.
Salto (ou de primeira espécie): limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes (ex.: \lim_{x\to a^-} f \neq \lim_{x\to a^+} f).
Infinita (ou essencial/segunda espécie): pelo menos um dos limites laterais é infinito (ou não existe de forma oscilante).
No nosso caso em x=2:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=-3 (finito).
\lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty (infinito).
Como uma das laterais é infinita, a descontinuidade em x=2 é do tipo infinita (às vezes chamada descontinuidade essencial ou de segunda espécie). Observação: embora f(2) exista e seja -3, a descontinuidade permanece porque o limite bilateral não existe.
Passo 5
Construção explícita de uma função exemplo que satisfaça todas as condições (isso ajuda a esboçar o gráfico).
Vou montar uma função peça por peça, escolhendo expressões simples que respeitem as exigências.
Para x\le 2 (parte esquerda, contínua até 2, passa por (0,4) e por (2,-3)) escolho uma reta f(x)=ax+b.
Condições: f(0)=b=4 (porque \lim_{x\to0}f(x)=4 e a função é contínua em 0).
Logo, para x\le 2 posso tomarf(x)=-\tfrac{7}{2}x+4,\qquad (x\le 2).
Verificações rápidas: f(0)=4, f(2)=-7+4=-3. É contínua em (-\infty,2].
Para x>2 (parte direita, contínua lá, comportamento +\infty logo ao se aproximar de 2^+ e f(5)=0) escolho uma função racional simples que tenha assíntota vertical em x=2 e passe por (5,0). Uma escolha prática é
f(x)=\frac{5-x}{x-2},\qquad (x>2).
Verificações:
Para x\to2^+: numerador \to 3>0, denominador \to 0^+, logo f(x)\to +\infty. Condição satisfeita.
f(5)=\dfrac{5-5}{5-2}=0. Condição \lim_{x\to5} f(x)=0 satisfeita (e como a função é contínua em 5, tem valor 0 ali).
A função é contínua em (2,+\infty) exceto no próprio x=2 que é singular (assíntota vertical).
Portanto uma função peça-por-peça que cumpre todas as condições é
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções para desenhar à mão).
Eixo cartesiano usual x horizontal e y vertical.
Parte esquerda (x\le2):
Desenhe a reta y=-\tfrac{7}{2}x+4.
Coloque o ponto (0,4) sobre essa reta.
Calcule e marque (2,-3) e pinte esse ponto (ponto preenchido) porque f(2)=-3.
A reta segue linear para x\to -\infty.
Em x=2:
Trace uma linha vertical pontilhada em x=2 para indicar a assíntota vertical na direita (apenas como guia).
No gráfico, à esquerda da linha trace o ponto cheio (2,-3).
Parte direita (x>2):
Desenhe a curva y=(5-x)/(x-2) para x>2.
Ao aproximar-se de x=2 pela direita a curva sobe muito (tende a +\infty); represente isso desenhando a curva partindo de muito alto perto de x=2^+ e descendo.
Marque o ponto (5,0) e note que a curva passa por ele.
Observação útil: para grandes x, y\to -1 (assim a curva tende a uma assíntota horizontal y=-1), mas isso não é exigido pelo enunciado, é apenas informação sobre a forma da curva.
Resultado visual:
À esquerda, uma reta passando por (0,4) chegando a (2,-3).
Em x=2 um ponto cheio em (2,-3) e, imediatamente à direita, a curva que vem de +\infty e atravessa (5,0), contínua para x>2.
Passo 7
Identificação final das descontinuidades (resumo e explicação curta).
O único ponto onde há descontinuidade é x=2.
Por que: \lim_{x\to 2^-} f(x)=-3 e \lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty, então o limite bilateral não existe.
Tipo: descontinuidade infinita (uma das laterais diverge para +\infty). Apesar de f(2) existir e valer -3 (continuidade pela esquerda), a descontinuidade é essencial no sentido de que a função tem uma assíntota vertical em x=2.
Não existem outras descontinuidades:
Em x=0 a função é contínua (parte esquerda reta com f(0)=4 e \lim_{x\to0}f(x)=4).
Em x=5 a função é contínua no trecho direito e f(5)=0, portanto \lim_{x\to5}f(x)=0 e não há descontinuidade aí.
Em todo x<2 e em todo x>2 a função foi construída contínua.
Descontinuidade em x=2: descontinuidade do tipo infinita (assíntota vertical à direita, afinal \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty; observa-se f(2)=-3 e \lim_{x\to2^-}f(x)=-3, logo a função é apenas esquerda-contínua em 2). Não há outras descontinuidades.]