Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A expressão é a razão entre
(numerador) e (denominador). - A variável
tende para . - Devemos determinar o valor do limite, ou justificar por que não existe.
Passo 2
Intuição básica (sem prova formal ainda): para
grande e positivo,
é um número muito grande e
é um número muito pequeno (próximo de zero). Assim, tanto o numerador quanto o denominador são dominados por
, então a razão deve ficar próxima de
. Agora vamos transformar essa intuição em contas rigorosas.
Passo 3
Fatorar
do numerador e do denominador para simplificar a expressão. Isso é permitido porque
é sempre diferente de zero. Primeiro escrevemos:
e
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Usando essas fatorações, a expressão original fica
Cancelamos
(não nulo) e reduzimos o problema a calcular
Passo 5
Analisar o termo
. Note que
Como
, potências de
com expoente que cresce sem limite tendem a zero. Logo:
Passo 6
Substituindo o comportamento de
no limite simplificado, obtemos
Passo 7
Comentário final e verificação intuitiva: a razão tende a
porque o termo
fica desprezível diante de
quando
cresce. Uma alternativa elegante é notar que a expressão é igual a
, e
de um argumento que vai para
tende a
. Mas a fatoração usada acima já fornece uma explicação simples e direta, adequada para uma prova.