Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{\rightarrow \infty} \frac{2^{x}-2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}}\,,

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty} \frac{2^{x}-2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão é a razão entre 2^{x}-2^{-x} (numerador) e 2^{x}+2^{-x} (denominador).
  • A variável x tende para +\infty.
  • Devemos determinar o valor do limite, ou justificar por que não existe.

Passo 2

Intuição básica (sem prova formal ainda): para x grande e positivo, 2^{x} é um número muito grande e 2^{-x} é um número muito pequeno (próximo de zero). Assim, tanto o numerador quanto o denominador são dominados por 2^{x}, então a razão deve ficar próxima de 1. Agora vamos transformar essa intuição em contas rigorosas.

Passo 3

Fatorar 2^{x} do numerador e do denominador para simplificar a expressão. Isso é permitido porque 2^{x} é sempre diferente de zero. Primeiro escrevemos:
2^{x}-2^{-x}=2^{x}\bigl(1-2^{-2x}\bigr)
e
2^{x}+2^{-x}=2^{x}\bigl(1+2^{-2x}\bigr).
(Verificação rápida: 2^{x}\cdot 2^{-2x}=2^{x-2x}=2^{-x}.)

Passo 4

Usando essas fatorações, a expressão original fica
\frac{2^{x}-2^{-x}}{2^{x}+2^{-x}} =\frac{2^{x}\bigl(1-2^{-2x}\bigr)}{2^{x}\bigl(1+2^{-2x}\bigr)} =\frac{1-2^{-2x}}{1+2^{-2x}}.
Cancelamos 2^{x} (não nulo) e reduzimos o problema a calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{1-2^{-2x}}{1+2^{-2x}}.

Passo 5

Analisar o termo 2^{-2x}. Note que
2^{-2x}=\bigl(2^{-1}\bigr)^{2x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2x}.
Como 0<\tfrac{1}{2}<1, potências de \tfrac{1}{2} com expoente que cresce sem limite tendem a zero. Logo:
\lim_{x\to\infty}2^{-2x}=0.

Passo 6

Substituindo o comportamento de 2^{-2x} no limite simplificado, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{1-2^{-2x}}{1+2^{-2x}}=\frac{1-0}{1+0}=1.

Passo 7

Comentário final e verificação intuitiva: a razão tende a 1 porque o termo 2^{-x} fica desprezível diante de 2^{x} quando x cresce. Uma alternativa elegante é notar que a expressão é igual a \operatorname{tanh}\bigl(x\ln 2\bigr), e \operatorname{tanh} de um argumento que vai para +\infty tende a 1. Mas a fatoração usada acima já fornece uma explicação simples e direta, adequada para uma prova.

Resposta

1

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