Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+1}}{9 x+1}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{9x+1}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é uma razão entre uma raiz quadrada no numerador e uma expressão linear no denominador.

Passo 2

Intuição rápida (sem resolver ainda): quando x fica muito grande, termos do tipo x e \sqrt{x} crescem, mas crescem em velocidades diferentes: \sqrt{x} cresce mais devagar que x. Isso costuma fazer com que uma razão do tipo \dfrac{\sqrt{x}}{x} tenda a zero. Vamos transformar a expressão para evidenciar esse comportamento de forma rigorosa.

Passo 3

Fatorar potências de x para comparar ordens de grandeza. Escrevo a raiz em função de \sqrt{x} e separo fatores que tenham limites conhecidos:
\frac{\sqrt{x+1}}{9x+1} =\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{x\left(9+\tfrac{1}{x}\right)}.
Aqui usei a propriedade \sqrt{x+1}=\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} e coloquei 9x+1=x\left(9+\tfrac{1}{x}\right).

Passo 4

Simplificar a expressão acima cancelando \sqrt{x} com parte de x:
\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{x\left(9+\tfrac{1}{x}\right)} =\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{\sqrt{x}\left(9+\tfrac{1}{x}\right)}.
Agora a forma deixa claro que há um fator \dfrac{1}{\sqrt{x}} multiplicando uma parte que tem limite finito quando x\to\infty.

Passo 5

Avaliar os limites dos fatores que aparecem:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}= \sqrt{1+0}=1, porque \tfrac{1}{x}\to0 e a função \sqrt{\cdot} é contínua em 1.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(9+\tfrac{1}{x}\right)=9.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}=+\infty, portanto \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0.

Passo 6

Usar as propriedades de limites (produto e quociente) para combinar os limites anteriores. Da expressão em Passo 4:
\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{\sqrt{x}\left(9+\tfrac{1}{x}\right)} =\left(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{9+\tfrac{1}{x}}.
Tomando limite em ambos os lados e usando os limites calculados:
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{\sqrt{x}\left(9+\tfrac{1}{x}\right)} =1\cdot 0\cdot \frac{1}{9}=0.
Produto de um termo que tende a 0 com termos que tendem a números finitos dá 0.

Passo 7

Conclusão: o numerador cresce como \sqrt{x} enquanto o denominador cresce como x, e x domina \sqrt{x}, fazendo a razão tender a zero. Portanto o limite existe e é zero.

Resposta

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