Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é uma razão entre uma raiz quadrada no numerador e uma expressão linear no denominador.
Passo 2
Intuição rápida (sem resolver ainda): quando
fica muito grande, termos do tipo
e
crescem, mas crescem em velocidades diferentes:
cresce mais devagar que
. Isso costuma fazer com que uma razão do tipo
tenda a zero. Vamos transformar a expressão para evidenciar esse comportamento de forma rigorosa.
Passo 3
Fatorar potências de
para comparar ordens de grandeza. Escrevo a raiz em função de
e separo fatores que tenham limites conhecidos:
Aqui usei a propriedade
e coloquei
.
Passo 4
Simplificar a expressão acima cancelando
com parte de
:
Agora a forma deixa claro que há um fator
multiplicando uma parte que tem limite finito quando
.
Passo 5
Avaliar os limites dos fatores que aparecem:
-
, porque e a função é contínua em . -
. -
, portanto .
Passo 6
Usar as propriedades de limites (produto e quociente) para combinar os limites anteriores. Da expressão em Passo 4:
Tomando limite em ambos os lados e usando os limites calculados:
Produto de um termo que tende a
com termos que tendem a números finitos dá
.
Passo 7
Conclusão: o numerador cresce como
enquanto o denominador cresce como
, e
domina
, fazendo a razão tender a zero. Portanto o limite existe e é zero.
Resposta
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