Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O que se pede: determinar se o limite existe quandotende a e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Para
os termos de maior grau em dominam o comportamento das expressões racionais e radicais. Aqui o numerador é de ordem e o radicando do denominador é de ordem . - Técnica prática: fatorar a maior potência de
possível (aqui ) e simplificar; isso transforma a expressão em termos que tendem a constantes quando . - Cuidado importante com raiz:
. Para temos . Vou usar essa propriedade explicitamente na manipulação algébrica.
Passo 3
Fatorar
do numerador e
debaixo da raiz no denominador:
Usando a propriedade da raiz quadrada:
Portanto
Como estamos estudando
, temos
, assim a expressão simplifica para
Passo 4
Agora avaliamos o limite termo a termo. Sabemos que
Substituindo esses limites na expressão já simplificada, obtemos
Passo 5
Simplificação final do quociente:
porque multiplicando numerador e denominador por
dá
.
Passo 6
Interpretação rápida e regra geral (resumo didático): quando
e se tiver uma expressão do tipo
com
, o limite é
. Aqui
e
, portanto
.