Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+5}{\sqrt{2 x^{2}-5}}\,,

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x+5.
  • Denominador: \sqrt{2x^{2}-5}.
    O que se pede: determinar se o limite existe quando x tende a +\infty e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Para x\to\infty os termos de maior grau em x dominam o comportamento das expressões racionais e radicais. Aqui o numerador é de ordem x e o radicando do denominador é de ordem x^{2}.
  • Técnica prática: fatorar a maior potência de x possível (aqui x) e simplificar; isso transforma a expressão em termos que tendem a constantes quando x\to\infty.
  • Cuidado importante com raiz: \sqrt{x^{2}}=|x|. Para x\to\infty temos |x|=x. Vou usar essa propriedade explicitamente na manipulação algébrica.

Passo 3

Fatorar x do numerador e x^{2} debaixo da raiz no denominador:
\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}} = \frac{x\bigl(2+\dfrac{5}{x}\bigr)}{\sqrt{x^{2}\bigl(2-\dfrac{5}{x^{2}}\bigr)}}.
Usando a propriedade da raiz quadrada:
\sqrt{x^{2}\bigl(2-\tfrac{5}{x^{2}}\bigr)} = \sqrt{x^{2}}\;\sqrt{2-\tfrac{5}{x^{2}}} = |x|\;\sqrt{2-\tfrac{5}{x^{2}}}.
Portanto
\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}} = \frac{x\bigl(2+\dfrac{5}{x}\bigr)}{|x|\;\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}}.
Como estamos estudando x\to\infty, temos |x|=x, assim a expressão simplifica para
\frac{2+\dfrac{5}{x}}{\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite termo a termo. Sabemos que
\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{2}}=0.
Substituindo esses limites na expressão já simplificada, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{5}{x}}{\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}} = \frac{2+0}{\sqrt{2-0}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Simplificação final do quociente:
\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
porque multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} \dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e regra geral (resumo didático): quando x\to\infty e se tiver uma expressão do tipo \dfrac{ax+b}{\sqrt{c x^{2}+d}} com c>0, o limite é \dfrac{a}{\sqrt{c}}. Aqui a=2 e c=2, portanto \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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