Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\right),

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty} x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr).
Informações dadas:
  • A expressão envolve a raiz quadrada \sqrt{x^{2}-1}, que está definida para |x|\ge 1.
  • O ponto de interesse é x\to\infty (ou seja, x grande e positivo).
    O que se quer: encontrar o valor do limite quando x tende a +\infty, ou explicar por que o limite não existe.

Passo 2

Ideia para simplificar a expressão: usar a racionalização pela conjugada. É uma técnica padrão quando aparece um termo do tipo \sqrt{\dots}-\text{algo}. Multiplica-se numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x^2-1}+x para eliminar a diferença de radicais. Aplicando isso à expressão:
x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr) = x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.

Passo 3

Fazendo a multiplicação no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}:
x\cdot\frac{(\sqrt{x^{2}-1})^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = x\cdot\frac{(x^{2}-1)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = x\cdot\frac{-1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.
Portanto a expressão se reduz a
-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.

Passo 4

Para calcular o limite dessa forma mais simples, fatoramos x no denominador (ou dividimos numerador e denominador por x). Como estamos em x\to\infty, x>0 para x suficientemente grande, então é legal dividir por x:
-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = -\frac{x}{x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}+x} = -\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 5

Agora usamos o fato que, quando x\to\infty, tem-se \tfrac{1}{x^{2}}\to 0, logo
\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\longrightarrow 1.
Substituindo esse limite na expressão obtida,
-\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}+1}\longrightarrow -\frac{1}{1+1}.

Passo 6

Confirmação alternativa (intuição assintótica): para x grande pode-se usar a aproximação de binômio
\sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u)\quad\text{quando }u\to 0.
Tomando u=-\tfrac{1}{x^{2}} tem-se
\sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}=x\Bigl(1-\tfrac{1}{2x^{2}}+o\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\Bigr)=x-\tfrac{1}{2x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Multiplicando por x:
x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr)=x\Bigl(-\tfrac{1}{2x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr)=-\tfrac{1}{2}+o(1),
o que também indica que o limite é -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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