Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve a raiz quadrada
, que está definida para . - O ponto de interesse é
(ou seja, grande e positivo).
O que se quer: encontrar o valor do limite quandotende a , ou explicar por que o limite não existe.
Passo 2
Ideia para simplificar a expressão: usar a racionalização pela conjugada. É uma técnica padrão quando aparece um termo do tipo
. Multiplica-se numerador e denominador pela conjugada
para eliminar a diferença de radicais. Aplicando isso à expressão:
Passo 3
Fazendo a multiplicação no numerador usando a identidade
:
Portanto a expressão se reduz a
Passo 4
Para calcular o limite dessa forma mais simples, fatoramos
no denominador (ou dividimos numerador e denominador por
). Como estamos em
,
para
suficientemente grande, então é legal dividir por
:
Passo 5
Agora usamos o fato que, quando
, tem-se
, logo
Substituindo esse limite na expressão obtida,
Passo 6
Confirmação alternativa (intuição assintótica): para
grande pode-se usar a aproximação de binômio
Tomando
tem-se
Multiplicando por
:
o que também indica que o limite é
.