Calcule o limite de f(x) conforme indicado.
f(x)=(1-cos x) cdot cotg x, x mapsto 0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0(1-cos x),cot x
O conteúdo aqui é limite trigonométrico com indeterminação do tipo 0cdotinfty. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas e propriedades de limites de funções conhecidas.

Passo 2

Primeiro escrevemos a cotangente como quociente de cosseno por seno:
cot x = cos xsin x
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(1-cos x),cot x = (1-cos x),cos xsin x = (1-cos x),cos xsin x

Passo 3

Usamos a identidade
1-cos x = 2sin^2!l(tfracx2r),
e também sin x = 2sin(tfracx2)cos(tfracx2). Substituindo na expressão:
(1-cos x),cos xsin x = 2sin^2!l(tfracx2r),cos x2sin!l(tfracx2r)cos!l(tfracx2r) = sin!l(tfracx2r),cos xcos!l(tfracx2r)

Passo 4

Agora tomamos o limite de cada fator quando xto0:
sin!l(tfracx2r)longrightarrow0, cos xlongrightarrow1, cos!l(tfracx2r)longrightarrow1
Portanto,
limxto0sin!l(tfracx2r),cos xcos!l(tfracx2r) = 0cdot11 = 0

Resposta

0

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