Calcule o limite das funções abaixo e classifique se existe ou não.
\lim _{x \rightarrow 1} F(X) onde F(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x-1, \text { se } x \geq 1 \\\ x^{2}, \text { se } x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to1}F(x) onde a função F é definida por partes. O conteúdo aqui é limite de função definida por partes e vamos precisar usar o conceito de limites laterais (à esquerda e à direita). A função é
F(x)= \begin{cases} 2x-1, & \text{se } x\ge 1,\\\ x^2, & \text{se } x<1. \end{cases}

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda, isto é
\lim_{x\to1^-}F(x).
Como x<1 usamos o ramo F(x)=x^2, então
\lim_{x\to1^-}F(x)=\lim_{x\to1^-}x^2=1^2=1.

Passo 3

Agora calculamos o limite pela direita, isto é
\lim_{x\to1^+}F(x).
Como x\ge1 usamos o ramo F(x)=2x-1, então
\lim_{x\to1^+}F(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=2\cdot1-1=1.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem, ou seja
\lim_{x\to1^-}F(x)=1 e \lim_{x\to1^+}F(x)=1, o limite \lim_{x\to1}F(x) existe e vale 1.

Resposta

\lim_{x\to1}F(x)=1. O limite existe.

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