Calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{x-3}{x+2}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é de limites do tipo \bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)^{x} que levam à função exponencial. Vamos usar a transformação com logaritmo para reescrever a potência.

Passo 2

Reescrevemos a base como
\frac{x-3}{x+2} =1-\frac{5}{x+2}.

Passo 3

Chamando o limite de L, temos
L=\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1-\tfrac{5}{x+2}\Bigr)^{x} =\lim_{x\to -\infty}\exp\Bigl[x\ln\bigl(1-\tfrac{5}{x+2}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Para x\to -\infty, o termo u=-\tfrac{5}{x+2} é pequeno. Aplicando a expansão
\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3),
obtemos
\ln\bigl(1-\tfrac{5}{x+2}\bigr) =-\frac{5}{x+2}-\frac{1}{2}\,\frac{25}{(x+2)^2}+O\!\bigl((x+2)^{-3}\bigr).

Passo 5

Multiplicando por x,
x\ln\bigl(1-\tfrac{5}{x+2}\bigr) =-\frac{5x}{x+2}-\frac{25x}{2(x+2)^2}+O\!\bigl(x(x+2)^{-3}\bigr).
Quando x\to -\infty, temos
-\frac{5x}{x+2}\to -5, \qquad -\frac{25x}{2(x+2)^2}\to 0,
logo o expoente tende a -5.

Passo 6

Portanto
L=\exp\bigl(\lim_{x\to -\infty}x\ln(1-\tfrac{5}{x+2})\bigr) =\exp(-5).

Resposta

e^{-5}

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