Calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\Bigr)^{x^{2}}.
É um limite do tipo “base tende a 1” elevado a “expoente que vai para +\infty”. Vamos usar a estratégia de passar para a forma \exp\bigl(x^{2}\ln(\cdot)\bigr) e analisar o comportamento do logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a base como
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3} =1+\frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-3)}{x^{2}-3} =1+\frac{4}{x^{2}-3}.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{x\to-\infty}x^{2}\ln\!\Bigl(1+\frac{4}{x^{2}-3}\Bigr),
pois então o limite original vale \exp(L).

Passo 4

Para |x|\to\infty temos \frac{4}{x^{2}-3}\to 0, logo usamos a expansão
\ln\!\Bigl(1+\frac{4}{x^{2}-3}\Bigr)\sim\frac{4}{x^{2}-3}.
Assim
x^{2}\ln\!\Bigl(1+\frac{4}{x^{2}-3}\Bigr) \sim x^{2}\cdot\frac{4}{x^{2}-3} \longrightarrow 4.
Portanto L=4.

Passo 5

Como o limite do logaritmo é \(4), temos
\lim_{x\to-\infty}\Bigl(\tfrac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\Bigr)^{x^{2}} =\exp(L) =\exp(4).

Resposta

\displaystyle e^{4}

Exercícios relacionados