Calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1 - \frac{2}{x}\Bigr)^{3x}.
Este tipo de limite tem a forma indeterminada (1+\tfrac{a}{x})^x e se resolve usando a definição do número e.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = -x,
de modo que, quando x\to -\infty, temos t\to +\infty. Além disso,
1 - \frac{2}{x} \;=\; 1 + \frac{2}{t}.

Passo 3

Reescrevendo a potência em termos de t,
\Bigl(1 - \tfrac{2}{x}\Bigr)^{3x} = \Bigl(1 + \tfrac{2}{t}\Bigr)^{-3t} = \Bigl[(1 + \tfrac{2}{t})^{t}\Bigr]^{-3}.

Passo 4

Pelo limite conhecido
\lim_{t\to\infty}(1 + \tfrac{2}{t})^{t} = e^{2},
segue que
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1 - \tfrac{2}{x}\Bigr)^{3x} = (e^{2})^{-3} = e^{-6}.

Resposta

e^{-6}

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