Considere a função
f(x)=x^{3}-4 x+4, \text { para } x \in[1,2]
Determine c de modo que a reta tangente ao gráfico de f em ( c, f\text{(c)} ) seja paralela à reta secante que passa por (1, f(1)) e (2, f(2)).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^{3}-4x+4,\quad x\in[1,2],
e pede encontrar c tal que a reta tangente ao gráfico de f em \bigl(c,f\text{(c)}\bigr) seja paralela à reta secante que passa por \bigl(1,f(1)\bigr) e \bigl(2,f(2)\bigr). O ponto-chave é reconhecer que a inclinação da reta tangente em x=c é f'\text{(c)}, e a inclinação da secante entre x=1 e x=2 é
m_{\text{sec}}=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}.

Passo 2

Calcular f(1) e f(2):
f(1)=1^{3}-4\cdot1+4=1 \quad\text{e}\quad f(2)=2^{3}-4\cdot2+4=4.
Logo, a inclinação da secante é
m_{\text{sec}} =\frac{f(2)-f(1)}{2-1} =\frac{4-1}{1} =3.

Passo 3

Determinar a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-4x+4\bigr) =3x^{2}-4.

Passo 4

Igualar a inclinação da tangente à inclinação da secante:
f'\text{(c)}=m_{\text{sec}} \quad\Longrightarrow\quad 3c^{2}-4=3 \quad\Longrightarrow\quad 3c^{2}=7 \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=\frac{7}{3} \quad\Longrightarrow\quad c=\pm\sqrt{\frac{7}{3}}.

Passo 5

Como precisamos de c\in[1,2], descartamos a raiz negativa e ficamos com
c=\sqrt{\frac{7}{3}}\approx1{,}53\in[1,2].

Resposta

c = \sqrt{\frac{7}{3}}.

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