Determinar e graficar o domínio das funções:
f(x, y)=\frac{3 x+5 y}{x{2}+y{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e desenhar (graficar) esse domínio para a função
f(x,y)=\frac{3x+5y}{x^{2}+y^{2}-4}.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • A função tem duas variáveis reais x e y.
  • Precisamos encontrar todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} nos quais f(x,y) está bem definida (isto é, o domínio).
  • Em seguida devemos representar geometricamente esse conjunto no plano (x,y).

Passo 2

O que limita o domínio de uma função de duas variáveis? (explicação didática)
  • Em funções que envolvem divisão, não se pode ter denominador igual a zero.
  • Em funções que envolvem raiz quadrada, o radicando deve ser não negativo (se quisermos valores reais).
  • Em funções com logaritmo, o argumento deve ser positivo, etc.
    Aqui, a única restrição vem do denominador x^{2}+y^{2}-4. Não há raiz nem logaritmo na expressão, então a única coisa que precisamos evitar é que o denominador seja zero.

Passo 3

Impor a condição de existência da função (álgebra passo a passo)
  • A função está definida para todos (x,y) tais que o denominador seja diferente de zero. Escrever isso:
x^{2}+y^{2}-4 \neq 0.
  • Isolar a parte que representa uma curva conhecida:
x^{2}+y^{2}\neq 4.
  • Conclusão algébrica direta: qualquer par (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 4 pertence ao domínio; os pontos com x^{2}+y^{2}=4 são excluídos.
Obs.: o numerador 3x+5y é uma função linear que está definida para todo (x,y), então ele não impõe restrição alguma ao domínio.

Passo 4

Interpretação geométrica (o que é a curva x^{2}+y^{2}=4?)
  • A equação
x^{2}+y^{2}=4
é a circunferência (ou círculo limite) centrada na origem (0,0) com raio 2 (pois 2^{2}=4).
  • Portanto os pontos excluídos do domínio são exatamente os pontos sobre essa circunferência de raio 2.
  • O resto do plano está permitido: ou seja, tanto os pontos dentro do círculo ( x^{2}+y^{2}<4) quanto os pontos fora do círculo ( x^{2}+y^{2}>4) pertencem ao domínio.

Passo 5

Escrever o domínio em notação precisa (duas formas equivalentes)
  • Forma por complemento:
D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=4\}.
  • Forma como união de regiões:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}.

Passo 6

Como desenhar o domínio (instruções práticas para a prova)
  1. Desenhe os eixos x e y no plano.
  2. Desenhe a circunferência de centro em (0,0) e raio 2. Marque-a com linha tracejada ou com a borda vazada para indicar que essa curva NÃO pertence ao domínio (ou desenhe pequenos círculos abertos sobre a curva).
  3. Pinte (ou simplesmente indique) que tanto a região interna ao círculo (todos os pontos a menos de distância 2 da origem) quanto a região externa ao círculo (distância maior que 2) fazem parte do domínio.
  4. Testes rápidos para checar se o desenho está correto: o ponto (0,0) pertence ao domínio porque 0^{2}+0^{2}=0\neq4; o ponto (2,0) não pertence porque 2^{2}+0^{2}=4.

Passo 7

Observações extras úteis para a prova (motivação e intuição)
  • A função tende a “explodir” (valores com módulo grande, possivelmente \pm\infty) quando (x,y) se aproxima de qualquer ponto da circunferência x^{2}+y^{2}=4, porque o denominador vai a zero enquanto o numerador geralmente não se anula simultaneamente.
  • O domínio é formado por duas componentes conexas: o disco aberto interior \{x^{2}+y^{2}<4\} e a região exterior \{x^{2}+y^{2}>4\}.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq4\}
\text{equivalente a }D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}

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