Determinar e graficar o domínio das funções:
f(x, y)=\frac{3 x+5 y}{x{2}+y{2}-4}
f(x, y)=\frac{3 x+5 y}{x{2}+y{2}-4}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e desenhar (graficar) esse domínio para a função
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- A função tem duas variáveis reais
e . - Precisamos encontrar todos os pares
nos quais está bem definida (isto é, o domínio). - Em seguida devemos representar geometricamente esse conjunto no plano
.
Passo 2
O que limita o domínio de uma função de duas variáveis? (explicação didática)
- Em funções que envolvem divisão, não se pode ter denominador igual a zero.
- Em funções que envolvem raiz quadrada, o radicando deve ser não negativo (se quisermos valores reais).
- Em funções com logaritmo, o argumento deve ser positivo, etc.
Aqui, a única restrição vem do denominador. Não há raiz nem logaritmo na expressão, então a única coisa que precisamos evitar é que o denominador seja zero.
Passo 3
Impor a condição de existência da função (álgebra passo a passo)
- A função está definida para todos
tais que o denominador seja diferente de zero. Escrever isso:
- Isolar a parte que representa uma curva conhecida:
- Conclusão algébrica direta: qualquer par
com pertence ao domínio; os pontos com são excluídos.
Obs.: o numerador
é uma função linear que está definida para todo
, então ele não impõe restrição alguma ao domínio.
Passo 4
Interpretação geométrica (o que é a curva
?)
- A equação
é a circunferência (ou círculo limite) centrada na origem
com raio
(pois
).
- Portanto os pontos excluídos do domínio são exatamente os pontos sobre essa circunferência de raio
. - O resto do plano está permitido: ou seja, tanto os pontos dentro do círculo (
) quanto os pontos fora do círculo ( ) pertencem ao domínio.
Passo 5
Escrever o domínio em notação precisa (duas formas equivalentes)
- Forma por complemento:
- Forma como união de regiões:
Passo 6
Como desenhar o domínio (instruções práticas para a prova)
- Desenhe os eixos
e no plano. - Desenhe a circunferência de centro em
e raio . Marque-a com linha tracejada ou com a borda vazada para indicar que essa curva NÃO pertence ao domínio (ou desenhe pequenos círculos abertos sobre a curva). - Pinte (ou simplesmente indique) que tanto a região interna ao círculo (todos os pontos a menos de distância
da origem) quanto a região externa ao círculo (distância maior que ) fazem parte do domínio. - Testes rápidos para checar se o desenho está correto: o ponto
pertence ao domínio porque ; o ponto não pertence porque .
Passo 7
Observações extras úteis para a prova (motivação e intuição)
- A função tende a “explodir” (valores com módulo grande, possivelmente
) quando se aproxima de qualquer ponto da circunferência , porque o denominador vai a zero enquanto o numerador geralmente não se anula simultaneamente. - O domínio é formado por duas componentes conexas: o disco aberto interior
e a região exterior .