Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedade dos limites que forem usadas.
(a) lim x infty 3 x^2-x+42 x^2+5 x-8
(b) lim x infty raiz12 x^3-5 x+21+4 x^2+3 x^3

Passo 1

Vamos calcular dois limites envolvendo funções racionais e usar propriedades de limite como soma, produto, quociente e continuidade de funções compostas.

Passo 2

Para a parte (a), note que temos uma razão de polinômios de mesmo grau (grau 2). Podemos usar a propriedade do limite do quociente: se limxtoinfty f(x) e limxtoinfty g(x) existem e limxtoinftyg(x)neq 0, então
limxtoinftyf(x)g(x)=limxtoinftyf(x)limxtoinftyg(x)
Aqui, f(x)=3x^2−x+4 e g(x)=2x^2+5x−8. Dividimos numerador e denominador por x^2, que é o maior grau, e usamos que limxtoinfty1/x=0 e limxtoinftyconstante=constante:
3x^2−x+42x^2+5x−8=3−1/x+4/x^22+5/x−8/x^2

Passo 3

Tomando o limite em cada termo:
limxtoinftyl(3−1/x+4/x^2r)=3, limxtoinftyl(2+5/x−8/x^2r)=2,
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limxtoinfty3x^2−x+42x^2+5x−8=32

Passo 4

Para a parte (b), temos um radical envolvendo uma razão de polinômios de mesmo grau (grau 3). Primeiro aplicamos a propriedade de limite do quociente, depois a continuidade da função raiz quadrada. No interior do radical, dividimos numerador e denominador por x^3:
12x^3−5x+21+4x^2+3x^3=12−5/x^2+2/x^31/x^3+4/x+3

Passo 5

Tomando o limite de cada termo interno à raiz:
limxtoinftyl(12−5/x^2+2/x^3r)=12, limxtoinftyl(1/x^3+4/x+3r)=3

Passo 6

Logo o quociente tende a 12/3=4. Como a raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, aplicamos a composição:
limxtoinftyraiz12x^3−5x+21+4x^2+3x^3=raizlimxtoinfty12x^3−5x+21+4x^2+3x^3=raiz4=2

Resposta

(a) 3/2
(b) 2

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