Sejam f(x)=1-x e g(x)=x+2x-1. Verifique que: f e g são as inversas de f e g respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=1−x e g(x)=\frac{x+2}{x−1}. O objetivo é usar composição de funções para mostrar que f^{-1}=f e g^{-1}=g, ou seja, que aplicar cada função duas vezes retorna x.

Passo 2

Lembrando a definição: uma função h^{-1} é inversa de h se h(h^{-1}(x))=x e h^{-1}(h(x))=x para todo x em seus domínios.

Passo 3

Vamos calcular f(f(x)).
f(f(x))=f(1−x)=1−(1−x)=x
Isso mostra que f(f(x))=x para todo x, ou seja, f é involutiva.

Passo 4

Agora calculamos g(g(x)), lembrando que x≠1 para g(x) estar definida e g(x)≠1 para g(g(x)).
g(g(x))=g(x)+2g(x)−1=x+2x−1+2x+2x−1−1=x+2+2(x−1)x−1x+2−(x−1)x−1=3xx−13x−1=x
Isso mostra que g(g(x))=x sempre que estiver definida.

Passo 5

Como em ambos os casos a composição da função com ela mesma devolve x, concluímos que f e g são suas próprias inversas, atendendo à definição de função inversa.

Resposta

f^-1(x)=1−x=f(x) e g^-1(x)=x+2x−1=g(x)

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