Sejam
e
. Verifique que:
e
são as inversas de
e
respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá as funções f(x)=1−x e g(x)=\frac{x+2}{x−1}. O objetivo é usar composição de funções para mostrar que f^{-1}=f e g^{-1}=g, ou seja, que aplicar cada função duas vezes retorna x.
Passo 2
Lembrando a definição: uma função h^{-1} é inversa de h se h(h^{-1}(x))=x e h^{-1}(h(x))=x para todo x em seus domínios.
Passo 3
Vamos calcular f(f(x)).
Isso mostra que f(f(x))=x para todo x, ou seja, f é involutiva.
Passo 4
Agora calculamos g(g(x)), lembrando que x≠1 para g(x) estar definida e g(x)≠1 para g(g(x)).
Isso mostra que g(g(x))=x sempre que estiver definida.
Passo 5
Como em ambos os casos a composição da função com ela mesma devolve x, concluímos que f e g são suas próprias inversas, atendendo à definição de função inversa.