1. Determine \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x^{3}-1} \mathrm{e} \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{x^{3}-1}
    (a) calculando f(x)=1 /\left(x^{3}-1\right) para valores de x que se aproximam de 1 pela esquerda e pela direita,
    (b) raciocinando como no Exemplo 9, e

Passo 1

O enunciado pede para determinar as duas limitações unilaterais da função f(x)=\dfrac{1}{x^{3}-1} no ponto x=1, isto é:
  • calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{1}{x^{3}-1};
  • calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{1}{x^{3}-1}.
O enunciado pede duas abordagens:
(a) aproximar numericamente f(x) por valores de x que se aproximam de 1 pela esquerda e pela direita;
(b) raciocinar algebricamente (como no Exemplo 9) para justificar o resultado.
Todas as informações relevantes estão na própria definição de f(x); não há figuras ou dados externos.

Passo 2

Rápida revisão do que é limite unilateral (para não ficar perdido):
  • Dizer \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de 1 por valores menores que 1, os valores de f(x) se aproximam de L.
  • Dizer \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=M significa que, quando x se aproxima de 1 por valores maiores que 1, os valores de f(x) se aproximam de M.
    Se o valor de f(x) cresce em módulo sem limite quando x se aproxima de 1, dizemos que o limite é +\infty ou -\infty conforme o sinal.

Passo 3

Vamos calcular f(x)=\dfrac{1}{x^{3}-1} para alguns pontos x<1 que se aproximam de 1. Os cálculos abaixo são feitos direto (sem truques) para ver a tendência.
  • Para x=0,9: 0,9^{3}=0,729,\qquad x^{3}-1=0,729-1=-0,271,
f(0,9)=\dfrac{1}{-0,271}\approx -3,69.
  • Para x=0,99: 0,99^{3}=0,970299,\qquad x^{3}-1=0,970299-1=-0,029701,
f(0,99)=\dfrac{1}{-0,029701}\approx -33,66.
  • Para x=0,999: 0,999^{3}=0,997002999,\qquad x^{3}-1\approx -0,002997001,
f(0,999)=\dfrac{1}{-0,002997001}\approx -333,67.
Observação: conforme x se aproxima de 1 pela esquerda, x^{3}-1 é negativo e tende a 0, logo 1/(x^{3}-1) é negativo e seu módulo cresce sem limite. A sequência de valores mostra f(x) indo para -\infty.

Passo 4

Agora pontos x>1 aproximando 1:
  • Para x=1,1: 1,1^{3}=1,331,\qquad x^{3}-1=1,331-1=0,331,
f(1,1)=\dfrac{1}{0,331}\approx 3,02.
  • Para x=1,01: 1,01^{3}=1,030301,\qquad x^{3}-1=0,030301,
f(1,01)=\dfrac{1}{0,030301}\approx 33,00.
  • Para x=1,001: 1,001^{3}=1,003003001,\qquad x^{3}-1\approx 0,003003001,
f(1,001)=\dfrac{1}{0,003003001}\approx 333,00.
Observação: conforme x se aproxima de 1 pela direita, x^{3}-1 é positivo e tende a 0, logo 1/(x^{3}-1) é positivo e seu valor cresce sem limite. A sequência de valores mostra f(x) indo para +\infty.

Passo 5

Fatoramos o denominador para entender o comportamento sem recorrer só a exemplos numéricos:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Logo
f(x)=\dfrac{1}{x^{3}-1}=\dfrac{1}{(x-1)\,(x^{2}+x+1)}.

Passo 6

A função g(x)=x^{2}+x+1 é contínua e, em x=1,
g(1)=1^{2}+1+1=3.
Portanto, quando x está próximo de 1, g(x) está próximo de 3 e, em particular, é positivo e permanece aproximado de 3 (não se anula). Assim podemos pensar que, perto de 1,
x^{3}-1 \approx 3(x-1).

Passo 7

Escrevendo de forma útil:
f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+x+1}\cdot \dfrac{1}{x-1}.
Como \dfrac{1}{x^{2}+x+1} tende para \dfrac{1}{3} quando x\to 1, o comportamento de f(x) é dominado por \dfrac{1}{x-1}.
  • Quando x\to 1^{-}, tem-se x-1<0 e |x-1|\to 0, portanto \dfrac{1}{x-1}\to -\infty. Multiplicando por um número próximo de \dfrac{1}{3}>0 mantém a divergência para -\infty. Logo
    \lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{1}{x^{3}-1} = -\infty.
  • Quando x\to 1^{+}, tem-se x-1>0 e |x-1|\to 0, portanto \dfrac{1}{x-1}\to +\infty. Multiplicando por algo próximo de \dfrac{1}{3}>0 mantém a divergência para +\infty. Logo
    \lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{1}{x^{3}-1} = +\infty.
Essas conclusões confirmam e explicam os resultados observados numericamente: há uma assíntota vertical em x=1, com sinais opostos à esquerda e à direita.

Passo 8

Resumo final da intuição e dica rápida para prova: ao ver 1/(x^{3}-1) perto de x=1, lembrar de fatorar x^{3}-1 para ver o fator x-1. Se o outro fator no denominador não se anula (aqui vale 3), então o sinal da divergência é o do inverso de x-1. Isso elimina a necessidade de tabelinha longa em muitas questões.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{1}{x^{3}-1} = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{1}{x^{3}-1} = +\infty

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