- Determine
(a) calculando
para valores de
que se aproximam de 1 pela esquerda e pela direita,
(b) raciocinando como no Exemplo 9, e
(a) calculando
(b) raciocinando como no Exemplo 9, e
Passo 1
O enunciado pede para determinar as duas limitações unilaterais da função
no ponto
, isto é:
- calcular
; - calcular
.
O enunciado pede duas abordagens:
(a) aproximar numericamente por valores de
que se aproximam de
pela esquerda e pela direita;
(b) raciocinar algebricamente (como no Exemplo 9) para justificar o resultado.
(a) aproximar numericamente
(b) raciocinar algebricamente (como no Exemplo 9) para justificar o resultado.
Todas as informações relevantes estão na própria definição de
; não há figuras ou dados externos.
Passo 2
Rápida revisão do que é limite unilateral (para não ficar perdido):
- Dizer
significa que, quando se aproxima de por valores menores que , os valores de se aproximam de . - Dizer
significa que, quando se aproxima de por valores maiores que , os valores de se aproximam de .
Se o valor decresce em módulo sem limite quando se aproxima de , dizemos que o limite é ou conforme o sinal.
Passo 3
Vamos calcular
para alguns pontos
que se aproximam de
. Os cálculos abaixo são feitos direto (sem truques) para ver a tendência.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação: conforme
se aproxima de
pela esquerda,
é negativo e tende a 0, logo
é negativo e seu módulo cresce sem limite. A sequência de valores mostra
indo para
.
Passo 4
Agora pontos
aproximando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação: conforme
se aproxima de
pela direita,
é positivo e tende a 0, logo
é positivo e seu valor cresce sem limite. A sequência de valores mostra
indo para
.
Passo 5
Fatoramos o denominador para entender o comportamento sem recorrer só a exemplos numéricos:
Logo
Passo 6
A função
é contínua e, em
,
Portanto, quando
está próximo de
,
está próximo de
e, em particular, é positivo e permanece aproximado de
(não se anula). Assim podemos pensar que, perto de
,
Passo 7
Escrevendo de forma útil:
Como
tende para
quando
, o comportamento de
é dominado por
.
-
Quando
, tem-se e , portanto . Multiplicando por um número próximo de mantém a divergência para . Logo -
Quando
, tem-se e , portanto . Multiplicando por algo próximo de mantém a divergência para . Logo
Essas conclusões confirmam e explicam os resultados observados numericamente: há uma assíntota vertical em
, com sinais opostos à esquerda e à direita.
Passo 8
Resumo final da intuição e dica rápida para prova: ao ver
perto de
, lembrar de fatorar
para ver o fator
. Se o outro fator no denominador não se anula (aqui vale
), então o sinal da divergência é o do inverso de
. Isso elimina a necessidade de tabelinha longa em muitas questões.