Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o seguinte limite (quando ele existir):
Informações e observações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O ponto para o qual
tende é . Isso significa que a coordenada tende a enquanto a coordenada permanece o mesmo parâmetro (o limite fica, portanto, em função de ). - O denominador contém
; portanto o caso é delicado porque causa divisão por zero (a expressão fica indefinida para ). - O enunciado não pede que se altere a interpretação: deve-se analisar o limite tal como escrito (ou seja, tratando
como parâmetro fixo ao calcular o limite quando ).
Passo 2
Vamos entender uma ferramenta-chave que vamos usar: a aproximação de
perto de
. Uma forma simples e muito usada é a série de Taylor:
Dessa expansão segue imediatamente que
pois os termos de ordem superior em
tornam-se insignificantes frente a
quando
. Em palavras simpáticas: para
pequeno,
comporta-se como
.
Essa propriedade será usada com a substituição
.
Passo 3
Fazer a substituição descrita: considere
. Quando
com
fixo, tem-se
(independente do valor de
, desde que
seja finito). Agora manipule a expressão original para explorar o limite que conhecemos:
onde
.
Aqui separamos a expressão em dois fatores:
e
. Pelo Passo 2 sabemos que
Como
quando
(com
fixo), o segundo fator tende a
. Assim, para
(para que a manipulação com
no denominador faça sentido) temos
O primeiro limite é
quando
, e o segundo é
. Portanto, para
,
Passo 4
Tratar o caso
. Se
, a expressão original fica
ou seja, a função não está definida em nenhum ponto da forma
(a divisão por
impede a existência de valor). Como a expressão não é definida na vizinhança do ponto
quando mantemos
fixo igual a
, não há como avaliar um limite do tipo
com
— a expressão não fornece valores para aproximar — portanto o limite, nesse caso, não existe (a expressão é indefinida ao longo da reta
).
É importante diferenciar dois cenários que às vezes confundem: (i) aqui estamos tomando
fixo e fazendo
; nesse sentido, para
não há valores de função para formar a aproximação e o limite não existe; (ii) se alguém perguntasse sobre
permitindo que
varie para
conjuntamente com
, seria outra análise (não pedida aqui) — mas não vamos entrar nisso porque o enunciado fixou o alvo
.
Passo 5
Resumo intuitivo e incentivo: então, quando
é diferente de zero o numerador tende a zero mais rápido que o denominador em termos relativos (a manipulação mostrou que o quociente é equivalente a
vezes algo que vai para
), resultando em limite
. Quando
a expressão está simplesmente indefinida (divisão por zero), e portanto não existe limite no sentido pedido.
Força aí — você conseguiu chegar na conclusão: o limite existe para todos os
e vale
; para
a expressão não está definida e o limite não existe.
Resposta
Para
:
Para : não existe (a expressão é indefinida).
Para