Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, y)} \frac{e^{x^{2} y}-1}{y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o seguinte limite (quando ele existir):
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,y)} \frac{e^{x^{2}y}-1}{y^{3}}.
Informações e observações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{e^{x^{2}y}-1}{y^{3}}.
  • O ponto para o qual (x,y) tende é (0,y). Isso significa que a coordenada x tende a 0 enquanto a coordenada y permanece o mesmo parâmetro y (o limite fica, portanto, em função de y).
  • O denominador contém y^{3}; portanto o caso y=0 é delicado porque causa divisão por zero (a expressão fica indefinida para y=0).
  • O enunciado não pede que se altere a interpretação: deve-se analisar o limite tal como escrito (ou seja, tratando y como parâmetro fixo ao calcular o limite quando x\to 0).

Passo 2

Vamos entender uma ferramenta-chave que vamos usar: a aproximação de e^{u} perto de u=0. Uma forma simples e muito usada é a série de Taylor:
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots.
Dessa expansão segue imediatamente que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1,
pois os termos de ordem superior em u tornam-se insignificantes frente a u quando u\to 0. Em palavras simpáticas: para u pequeno, e^{u}-1 comporta-se como u.
Essa propriedade será usada com a substituição u=x^{2}y.

Passo 3

Fazer a substituição descrita: considere u=x^{2}y. Quando x\to 0 com y fixo, tem-se u\to 0 (independente do valor de y, desde que y seja finito). Agora manipule a expressão original para explorar o limite que conhecemos:
\frac{e^{x^{2}y}-1}{y^{3}} = \frac{x^{2}y}{y^{3}}\cdot\frac{e^{x^{2}y}-1}{x^{2}y} = \frac{x^{2}}{y^{2}}\cdot\frac{e^{u}-1}{u},
onde u=x^{2}y.
Aqui separamos a expressão em dois fatores: \dfrac{x^{2}}{y^{2}} e \dfrac{e^{u}-1}{u}. Pelo Passo 2 sabemos que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Como u=x^{2}y\to 0 quando x\to 0 (com y fixo), o segundo fator tende a 1. Assim, para y\neq 0 (para que a manipulação com y^{2} no denominador faça sentido) temos
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}y}-1}{y^{3}} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}\cdot\frac{e^{u}-1}{u}\right) = \left(\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)\cdot\left(\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}\right).
O primeiro limite é \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}}{y^{2}}=0 quando y\neq 0, e o segundo é 1. Portanto, para y\neq 0,
\lim_{(x,y)\to(0,y)}\frac{e^{x^{2}y}-1}{y^{3}}=0.

Passo 4

Tratar o caso y=0. Se y=0, a expressão original fica
\frac{e^{x^{2}\cdot 0}-1}{0^{3}}=\frac{e^{0}-1}{0}=\frac{0}{0},
ou seja, a função não está definida em nenhum ponto da forma (x,0) (a divisão por 0 impede a existência de valor). Como a expressão não é definida na vizinhança do ponto (0,0) quando mantemos y fixo igual a 0, não há como avaliar um limite do tipo \lim_{(x,y)\to(0,y)} com y=0 — a expressão não fornece valores para aproximar — portanto o limite, nesse caso, não existe (a expressão é indefinida ao longo da reta y=0).
É importante diferenciar dois cenários que às vezes confundem: (i) aqui estamos tomando y fixo e fazendo x\to 0; nesse sentido, para y=0 não há valores de função para formar a aproximação e o limite não existe; (ii) se alguém perguntasse sobre \lim_{(x,y)\to(0,0)} permitindo que y varie para 0 conjuntamente com x, seria outra análise (não pedida aqui) — mas não vamos entrar nisso porque o enunciado fixou o alvo (0,y).

Passo 5

Resumo intuitivo e incentivo: então, quando y é diferente de zero o numerador tende a zero mais rápido que o denominador em termos relativos (a manipulação mostrou que o quociente é equivalente a \dfrac{x^{2}}{y^{2}} vezes algo que vai para 1), resultando em limite 0. Quando y=0 a expressão está simplesmente indefinida (divisão por zero), e portanto não existe limite no sentido pedido.
Força aí — você conseguiu chegar na conclusão: o limite existe para todos os y\neq 0 e vale 0; para y=0 a expressão não está definida e o limite não existe.

Resposta

Para y\neq 0: 0
Para y=0: não existe (a expressão é indefinida).

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